Tak właśnie się kończy robienie czegoś "na oko". Nie po to Euklides spisał aksjomaty geometrii, by ludzie 2000 lat po nim mierzyli "na oko" ;J
To, że fi-miarka gdzieś pasuje, nie musi jeszcze oznaczać, że tam faktycznie jest złota proporcja, bo dokładność takiego pomiaru jest niewystarczająca. Rozjazd na trzecim miejscu po przecinku, czy nawet drugim, i już całą fi h** strzelił :P Może to być czasami bardzo mylące. Dlatego nic tylko trzeba przeliczyć matematycznie, bo wtedy ma się pewność, że to nie przypadkowe podobieństwo.
(Do tego mam wrażenie, że na powyższym obrazku progi są nieco poprzesuwane względem linii dotykanych fi-miarką.)
To samo dotyczy prezentowanych powyżej spirali:
Spirala spirali nie równa. Nie każda spirala jest od razu złotą spiralą, nawet nie każda jest spiralą logarytmiczną (i nie każda logarytmiczna jest złota).
Łatwo się przekonać, że długości strun dla kolejnych harmonicznych tworzą ciąg harmoniczny, a nie ciąg złotych proporcji. Wystarczy sobie taki monochord zbudować i pozaznaczać. Najlepiej z co najmniej dwoma strunami (a więc już nie monochord), by móc zagrać obie na raz i porównać, czy dobrze współgrają.
Pierwsza proporcja "dobrze współgrająca" będzie dla oktawy, gdy długości strun są w stosunku
1:2. W języku muzycznym:
C:C'.
Viktor Schauberger - Zrozumieć i naśladować naturę [PL]
Następna będzie dla kwinty czystej, gdy są w stosunku
2:3 (lub inaczej
1 - 1/3). W języku muzycznym:
C:G.
Viktor Schauberger - Zrozumieć i naśladować naturę [PL]
Kolejna będzie kwarta czysta, dla stosunku
3:4 (lub inaczej
1 - 1/4). Muzycznie:
C:F.
Viktor Schauberger - Zrozumieć i naśladować naturę [PL]
Te cztery interwały muzyczne (tetrachord) w proporcji ciągłej
1:2:3:4 były podstawą pitagorejskiej skali muzycznej. Oto, jak wyglądają ustawione obok siebie:
Viktor Schauberger - Zrozumieć i naśladować naturę [PL]
Na obrazku są też podane greckie nazwy tych interwałów. Brakuje tylko określenia "epogdoon" dla całego tonu
8:9. Można go jednak zobaczyć na tabliczce Pitagorasa z obrazu Rafaela Santiego "Szkoła Ateńska":
Viktor Schauberger - Zrozumieć i naśladować naturę [PL]
Viktor Schauberger - Zrozumieć i naśladować naturę [PL]
Warto jeszcze zauważyć, że te cztery liczby tworzą słynny Tetraktys Pitagorasa
1+2+3+4=10.
Pozostałe interwały muzyczne, których używamy współcześnie:
Tercja wielka, dla stosunku
4:5 (lub inaczej
1 - 1/5). Muzycznie:
C:E.
Tercja mała, dla stosunku
5:6 (lub inaczej
1 - 1/6). Muzycznie:
C:Eb.
Sekunda wielka (cały ton), dla stosunku
8:9 (lub inaczej
1 - 1/9). Muzycznie:
C:D.
Sekunda mała (półton), dla stosunku
15:16 (lub inaczej
1 - 1/16). Muzycznie:
C:C#.
Oraz dwa ułożone w stosunkach Fibonacciego:
Seksta wielka, dla stosunku
3:5. Muzycznie:
C:A.
Seksta mała, dla stosunku
5:8. Muzycznie:
C:Ab.
Te długości strun nie są przypadkowe.
Gdy szarpiemy strunę, by wprawić ją w ruch, powstają na niej fale. Odbijają się one od jej końców (które nie mogą drgać, bo są przymocowane) i biegną tam i z powrotem:
Viktor Schauberger - Zrozumieć i naśladować naturę [PL]
http://ffden-2.phys.uaf.edu/211_fall2013.web.dir/zachariah_yarbro/szybko stabilizując się jako fale stojące, które drgają w miejscu. Fala stojąca posiada na swojej długości miejsca, które nie drgają (węzły). Takie węzły nie mogą wypaść w przypadkowych miejscach, lecz tylko w równych odstępach (bo fala powtarza się okresowo). W dodatku warunek, że zamocowane końce struny nie mogą drgać, wymusza, by fala miała tam węzły. Więc na takiej strunie mogą powstawać tylko fale stojące o określonych długościach: będących kolejnymi (pod)wielokrotnościami naturalnymi jej długości. Innymi słowy: węzły mogą dzielić długość struny na 2 równe części, 3 równe części, 4 równe części itd. Są to tzw. kolejne
harmoniczne.
Pamiętam, że kiedyś próbowałeś przypasowywać fi-miarkę także tutaj, czemu byłem zdecydowanie przeciwny, bo to
nie są proporcje złote, lecz harmoniczne. Fi-miarka pasowała wyłącznie "przez przypadek", z powodu niedokładności takich rysunków.
Każdy układ drgający wytwarza zwykle wiele harmonicznych na raz, oprócz tonu podstawowego o najdłuższej fali. Jednak wytworzenie krótszych fal wymaga wyższej energii, dlatego każda następna harmoniczna (wyższa, krótsza) jest już z reguły słabsza. Ale nadal tam jest, i od zawartości tych harmonicznych zależy "barwa" danego instrumentu. Po tym właśnie możemy odróżnić dźwięk C grany na fortepianie od dźwięku C granego na skrzypcach czy flecie (flet boczny tworzy prawie idealną sinusoidę, podczas gdy skrzypce mają bardzo dużą zawartość wyższych harmonicznych).
Dźwięki dobrze ze sobą współgrają nie dlatego, że tak nam się podoba, lecz dlatego, że wynika to z fizyki: Gdy nałożymy na siebie dwie fale, z których jedna jest np. 2x dłuższa, albo 3x dłuższa itd. (całkowita wielokrotność), to wiele ich węzłów będzie się pokrywać i dźwięk nie będzie się rozjeżdżał, nie będzie "dudnił". Jednak gdy nakładamy fale, które nie są całkowitą wielokrotnością, to działa zupełnie jak dzielenie pisemne dwóch niezbyt bliskich sobie liczb: cyferki będą lecieć dość "przypadkowo", zanim zamkną pełny cykl i zaczną się powtarzać. Podobnie jest z falami: jeśli mają dość "niezgodne" długości, potrzeba dużo czasu, by ich okresy ponownie się "spotkały", więc nasze ucho odbiera to jako nieprzyjemne powolne "dudnienie", nieczysty dźwięk.
Gdy gramy dźwięki o jednakowej wysokości (unisono, 1:1, C:C), wtedy
wszystkie harmoniczne się nakładają, więc ten dźwięk jest najbardziej "zgodny" dla naszego ucha, ale też zarazem najbardziej "nudny".
Gdy gramy dźwięki odległe o oktawę (2:1, C:C'), to pokrywać się będzie tylko co druga harmoniczna (wszystkie parzyste). Ten dźwięk nadal jest dość "harmonijny", i zarazem trochę mniej nudny, bo nieparzyste harmoniczne zaczynają na siebie oddziaływać, wprowadzając trochę zamieszania i nieparzystej okresowości.
Gdy gramy dźwięki odległe o kwintę czystą (3:2, C:G), to fale spotkają się dopiero po 1.5 okresu (3:2) (1.5 jest dość bliskie 1.61833... "na oko", więc łatwo pomylić :P). Tylko harmoniczne będące wielokrotnością 2 i 3 będą się spotykać, pozostałe się rozjadą, więc ten dźwięk jest drugi w kolejności pod względem "przyjemności dla ucha".
Następna jest kwarta czysta (4:3, C:F), w której fale podstawowe spotkają się po 1.(3) okresu (4:3). Natomiast zgodne będą tylko harmoniczne będące wielokrotnością 3 i 4, a więc tylko połowa z tych, które były w kwincie (odpadnie połowa parzystych).
Każdy następny interwał zawiera już coraz mniej harmonicznych, które mogłyby ze sobą współgrać w czasie, a coraz więcej takich, które będa "dudnić".
Poniższy obrazek przedstawia kilka kolejnych harmonicznych nałożonych na siebie:
Viktor Schauberger - Zrozumieć i naśladować naturę [PL]
http://ffden-2.phys.uaf.edu/211_fall2013.web.dir/zachariah_yarbro/I tu ciekawostka odnośnie złotej proporcji:
Najgorsze są kombinacje długości, które są niewspółmierne (np. 1 : root(2) ), bo one
nigdy nie zamkną cyklu! Gdy długość jednej struny obierzemy jako jednostkę, a długość drugiej struny mierzona tą pierwszą dale liczbę niewymierną, dźwięk nigdy nie będzie współgrał. A złota liczba "fi" jest
najbardziej niewymierną z liczb niewymiernych. Dlatego na 100% złote proporcje nie mogą się pojawić w szergu harmonicznym.
