Choose fontsize:
Witamy, Gość. Zaloguj się lub zarejestruj.
 
  W tej chwili nie ma nikogo na czacie
Strony: 1   Do dołu
  Drukuj  
Autor Wątek: Długość spiralki  (Przeczytany 4697 razy)
0 użytkowników i 1 Gość przegląda ten wątek.
OmAmO
Użytkownik
**
Wiadomości: 49




Zobacz profil WWW
« : Maj 19, 2013, 13:56:18 »


Witam,

postanowiłem wykonać spiralkę Archimedesa o zadanej długości(i wpadłem po uszy)
znalazłem wzór http://mathworld.wolfram.com/ArchimedesSpiral.html
ale nie wygląda on apetycznie.

Czy znacie jakieś narzędzia naukowe(programy) które mają już zaimplementowane obliczanie długości ścieżki na podstawie rysunku wektorowego lub generują spiralkę o zadanej długości tak by można było to wydrukować 1:1?


Share this topic on FacebookShare this topic on GoogleShare this topic on MagnoliaShare this topic on TwitterShare this topic on Google buzz 

Zapisane

Be Vegan, Go Green 2 Save The Planet!
SasQ
Collegium Invisible
Zaawansowany użytkownik
*
Płeć: Mężczyzna
Wiadomości: 270


Quanta rhei... :-)

5127368

Saskachewan sasq
Zobacz profil WWW Email
« Odpowiedz #1 : Maj 19, 2013, 17:51:00 »


Co do programów, to powinien chyba się nadać każdy, który potrafi rysować wykresy we współrzędnych biegunowych (czyli promienia względem kąta). Ja np. używam KmPlot pod Linuxem.

Jednak rysowanie spirali Archimedesa można przeprowadzić nawet ręcznie w bardzo prosty sposób, bo z definicji długość promienia jest zawsze proporcjonalna do aktualnego kąta obrotu ;-) To właśnie mówi ten pierwszy wzór na stronie, którą przytoczyłeś: r = a θ, czyli promień = jakaś stała (współczynnik proporcjonalności) razy aktualny kąt "theta".

Zawiąż pisak na sznurku, drugi koniec sznurka zawiąż do jakiegoś słupka (bieguna), ale tak, żeby węzeł się nie przesuwał ani nie obracał. Musi być na stałę umocowany. Gdy zaczniesz okrążać ołówkiem ten słup, utrzymując sznurek naprężony, będzie się on stopniowo owijał wokół słupka i robił coraz krótszy. Trzeba tylko uważać, żeby ołówek się nie przechylał. Ja zwykle zamiast ołówka przywiązuję małą metalową obręcz (np. nakrętkę od śrubki), i do niej wkładam czubek ołówka, trzymając wszystko na poziomie podłoża. Wtedy nic się nie przechyla.

Natomiast co do długości łuku, to faktycznie nie jest to takie proste do policzenia, bo jest to liczba nie tylko niewymierna, ale nawet przestępna (transcendentna). Gdyby było inaczej, mógłbyś konstrukcyjnie podzielić każdy kąt na dowolną ilość równych części ;-) Możesz jednak policzyć to na kalkulatorze w przybliżeniu, jeśli masz kalkulator z funkcjami. Jeśli nie masz, możesz użyć http://wolframalpha.com/ ;-) Podstaw swoje "a" i kąt obrotu θ i dostaniesz odpowiadającą mu długość łuku.

W odwrotną stronę może być trudniej, bo musiałbyś przekształcić ten wzór, rozwiązując go dla θ (bo jeśli daną masz długość łuku, to podejrzewam, że teraz interesuje Cię, ile okrążeń możesz dzięki temu zrobić dla danego skoku spirali). Jak to zrobić? A no tak jak ze wszystkimi innymi równaniami: odwracając wszystkie operacje po prawej stronie równania i stosując te same operacje na obu stronach, by zachować równowagę ;-)
Po prawej masz najpierw podzielenie przez 2, więc pomnóż obustronnie przez 2:
 2 s = a (θ root(1 + θ2) + arcsinh θ)
Teraz masz wymnożone przez "a" (Twój skok spirali), więc podziel przez niego:
 2 s / a = θ root(1 + θ2) + arcsinh θ
No i tu dopiero zaczynają się "schody", bo θ jest uwikłana w kilku miejscach. A my chcemy ją mieć po prawej stronie tylko raz. Każdy składnik zawiera ten kąt, więc nic więcej nie da się tam pozbyć i trzeba to najpierw jakoś przekształcić; najpewniej stosując jakieś tożsamości trygonometryczne. Jeszcze nie wiem jakie, muszę nad tym pogłówkować. Ale tak na szybko widzę tam, że root(1 + θ2) przypomina przekształconą postać twierdzenia Pitagorasa, bo gdy a2 = b2 + c2, to a = root(b2 + c2). Tutaj Twoim b2 jest po prostu 1, a Twoim c2 jest θ2. Więc całość pewnie dałoby się podstawić jakąś jedną literką, która jest funkcją kąta (tylko trza by jeszcze wyczaić, co ona oznacza na rysunku).

P.S.: Zauważyłem, że pytałeś tutaj już w kilku innych wątkach o różne rzeczy, jednak zazwyczaj nie zdradzasz zbyt wiele szczegółów co do tego, do czego Ci to wszystko potrzebne i do czego właściwie zmierzasz. Warto jednak podać takie informacje i precyzyjniej określić z czym masz problem, bo wtedy inni nie będą zasypywać Cię informacjami, których wcale nie potrzebujesz (tak jak było z tymi wymiarami spirali DNA). Podobnie pewnie jest tutaj: Jeśli po prostu chcesz sobie tę spiralę wydrukować i wyciąć, to pewnie nie będzie Ci potrzebne aż tak dokładne obliczanie długości ścieżki. Poza tym raz piszesz, że długość ścieżki masz zadaną, a za chwilę piszesz, że chcesz ją obliczać z rysunku. Zdecyduj się ;-)

Share this topic on FacebookShare this topic on GoogleShare this topic on MagnoliaShare this topic on TwitterShare this topic on Google buzz 

« Ostatnia zmiana: Maj 20, 2013, 01:11:06 wysłane przez SasQ » Zapisane

Naukowy kącik kwantowy Saska:  http://nauka.mistu.info/  usmiech
Ostatnio dodane artykuły: Splątanie kwantowe rozplątane
OmAmO
Użytkownik
**
Wiadomości: 49




Zobacz profil WWW
« Odpowiedz #2 : Maj 19, 2013, 19:03:26 »


Umieściłem odpowiedź w wątku DNA
a spiralka też żadna tajemnica wszystko staram upubliczniać na pewno tu umieszczę wyniki i projekty pracy. serce

 nauka marzy mi się plugin do inkscape ale chyba to pod wiatr  pada deszcz

Share this topic on FacebookShare this topic on GoogleShare this topic on MagnoliaShare this topic on TwitterShare this topic on Google buzz 

« Ostatnia zmiana: Maj 20, 2013, 06:20:03 wysłane przez OmAmO » Zapisane

Be Vegan, Go Green 2 Save The Planet!
SasQ
Collegium Invisible
Zaawansowany użytkownik
*
Płeć: Mężczyzna
Wiadomości: 270


Quanta rhei... :-)

5127368

Saskachewan sasq
Zobacz profil WWW Email
« Odpowiedz #3 : Maj 20, 2013, 01:08:12 »


Podlinkuj go może w powyższym poście, bo mi się gdzieś zgubił Mrugnięcie

BTW próbowałeś może parametryzować tę spiralę?
Każdą krzywą da się sparametryzować tak, by była zależna tylko od jednej zmiennej (np. czasu, albo odległości od jakiegoś punktu wzdłuż krzywej), bo linie są jednowymiarowe. Gdy tak zrobisz, dostaniesz współrzędne [x;y] w zależności np. od przebytej odległości na łuku.

Wyobraź sobie że po tej spirali porusza się jakiś obiekt, którego pozycję wyznacza punkt [x;y]. Całość odbywa się w czasie, więc jego współrzędne zmieniają się wraz z upływem czasu (są jego funkcją): [x(t); y(t)]. Choć zamiast czasu t możesz użyć też bezpośrednio odległości od początku (czyli ze wzoru na długość łuku). Każda współrzędna (x lub y) będzie mieć wtedy swój własny wzór, zależny od tylko jednej zmiennej (parametru t).
Google: "arc length parametrization"

marzy mi się plugin do inkscape ale chyba to pod wiatr

Hmm... W Inkscape było narzędzie do dysowania takich spirali. Ale zamiast długości łuku była tylko ilość zwojów (także ułamkowa), czyli kąt.

---
Edit:
Wygląda na to, że prostego rozwiązania tego problemu nie ma.
Tutaj znajdziesz mniej proste: http://efreedom.com/Question/5-81636/Place-Objects-Equidistantly-Archimedean-Spiral

Share this topic on FacebookShare this topic on GoogleShare this topic on MagnoliaShare this topic on TwitterShare this topic on Google buzz 

« Ostatnia zmiana: Maj 20, 2013, 01:30:45 wysłane przez SasQ » Zapisane

Naukowy kącik kwantowy Saska:  http://nauka.mistu.info/  usmiech
Ostatnio dodane artykuły: Splątanie kwantowe rozplątane
Strony: 1   Do góry
  Drukuj  
 
Skocz do:  

Powered by SMF 1.1.21 | SMF © 2006-2009, Simple Machines
BlueSkies design by Bloc | XHTML | CSS