Choose fontsize:
Witamy, Gość. Zaloguj się lub zarejestruj.
 
  W tej chwili nie ma nikogo na czacie
Strony: 1 2 »   Do dołu
  Drukuj  
Autor Wątek: Arytmetyka Modularna  (Przeczytany 6936 razy)
0 użytkowników i 1 Gość przegląda ten wątek.
Lady F
Zaawansowany użytkownik
****
Wiadomości: 273


Merlin



Zobacz profil
« : Styczeń 13, 2015, 13:22:14 »


Lucyfer -

Cytuj
Proponuje założyć wątek o "Arytmetyce Modularnej" w dziale Marko Rodin

Przychylam sie do propozycji.

I na poczatek zamiast nudnych definicji z wikipedii przedstawiam ciekawy artykul Ksawerego Stojdy, fizyka, pt. "Arytmetyka modularna w przedszkolu".

"Małe dziecię (sześciolatek w szkole) w ramach kontestacji wszystkiego — apostazji z matematyki — na pytanie do ilu umie liczyć, stwierdził, że do dwunastu. Kłamstwo oczywiste, bo on po prostu umie liczyć bez limitu (choć zapewne nie zna słów takich jak „milion”). Diabeł mnie podkusił, żeby w reakcji wpuścić go w arytmetykę modularną.


OK, dziecię drogie: znamy wyłącznie liczby 0,1,2,…12 . Poradzimy sobie! Możemy liczyć, wykonywać działania. Nie potrzebujemy więcej liczb. Te do 12  nam wystarczą. Po …11,12  mamy znów 0,1,2… . Możemy tak w kółko liczyć do upadłego. Ile to jest 2+3 ? 5  — świetnie. A ile to jest 11+3 ? – 14 ? Nie znamy przecież takiej liczby!!! No to odliczamy od 11  jeszcze 3  liczby dalej: 11⟶12,0,1 . Czyli 11+3=1 . Udało nam się nawet policzyć, że 3×5=2 . Z dzieleniem sam sobie już nie poradził, ale z pewną moją pomocą ustaliliśmy w końcu, że 5÷3=6  — to, że każda liczba daje się podzielić przez każdą, było dodatkowym pożytkiem z naszego sposobu liczenia.

No i jeszcze ten pożytek, że w naszej arytmetyce nie ma liczb ujemnych! −3  to 10 . Bo: 5−3=5+10=2=5+(−3) …

Bardzo mu się spodobała ta arytmetyka w ciele Z 13  . Długo trenował pisanie Z  z podwójną kreseczką. I już nie udawał, że nie rozumie tej 13  w zapisie Z 13  .
 Choć obawiam się, że nie dojdzie do ładu ze szkolną nauczycielką, która z pewnością podwójnej kreseczki w Z  (nawet Z  bez indeksu, czyli w nieskończonym zbiorze liczb całkowitych, o jakich uczy…) nigdy nie widziała, ani nie ma pojęcia, że po niemiecku `liczby’ to `Zahlen’, stąd to Z .

A na całkiem poważnie (raczej dla odrobinę starszych — z dedykacją dla 11-letniej Milki) — arytmetyką modularną warto zająć się głębiej. Dopóki operujemy na małych liczbach (mniejszych od „największej liczby jaką znamy”) to nie różni sie ona niczym od normalnej, szkolnej arytmetyki — poza tym, że zawsze można wykonać dzielenie bez reszty, jak to nasze 5÷3= Z 13  6 . Ale zawsze, jeśli wynik jakiegoś działania w „zwykłej” arytmetyce istnieje i mieści się w zakresie znanych nam liczb, to nasza arytmetyka daje identyczny wynik. U nas 6÷2  też równa się 3 , a 3+5=8 . Ale, gdy zaczynamy liczyć „z zawinięciem”, to pewne obliczenia nawet na ogromnych (tysiąccyfrowych) liczbach stają się wykonalne, a inne pozostają poza możliwościami obliczeniowymi i pojawia się mnóstwo ciekawych własności, na których bazuje połowa współczesnej kryptografii. Tyle, że tu zawijamy nie po 12, ale po jakiejś tysiąccyfrowej liczbie.

Okazuje się też, że arytmetyka modularna jest jak najbardziej do pojęcia i zrozumienia dla sześciolatka. Kontestującego szkołę i jej ćwiczenia w z rachunkami w zakresie do 20 .

Komputery, poza bardzo specjalizowanymi programami do obliczeń na dużych liczbach, są na tyle głupie, że też używają arytmetyki modularnej i to w dodatku z modułem nie będącym wcale liczbą pierwszą, tylko (zazwyczaj w dzisiejszych czasach) zawijają na 2^ 64  , czyli po 18,446,744,073,709,551,615. Z dużymi liczbami nie dają sobie rady (nie ma mowy o tysiąccyfrowych! najwyżej 20-cyfrowe, a w starszych 10-cyfrowe…) — liczą jak my tutaj, tyle, że zawijając nie na 13, ale tak, że utożsamiają 18,446,744,073,709,551,616 z zerem…

(*) — dzielenie jest zawsze wykonalne tylko w ciałach o module, będącym liczbą pierwszą: Z p  , gdzie p  jest liczbą pierwszą, jak w naszym Z 13  …"

//P.S. Liczba Z powinna byc pisana z podwojna kreseczka
http://pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_ca%C5%82kowite//

zrodlo artykulu: http://osswiata.pl/stojda/2014/10/02/arytmetyka-modularna-w-przedszkolu/



Share this topic on FacebookShare this topic on GoogleShare this topic on MagnoliaShare this topic on TwitterShare this topic on Google buzz 

Zapisane
Lady F
Zaawansowany użytkownik
****
Wiadomości: 273


Merlin



Zobacz profil
« Odpowiedz #1 : Styczeń 14, 2015, 14:00:24 »


Nie wiem jakich srodkow dydaktycznych uzywal pan Ksawery z powyzszego postu mojego, ale ja uznalam, ze chyba najlatwiej jest wytlumaczyc te cyklicznosc na podstawie diagramu kolowego.
Kolo podzielilam na ilosc odpowiadajaca okreslonemu zbiorowi liczb calkowitych. Moze byc dowolna.
W tekscie jest mowa o 13 elementach zbioru od 0 do 12. Wiec podzielilam kolo na 13 rownych czesci wpisujac po zewnetrzenj stronie prawoskretny ciag wzrastajacy, a po wewnetrznej lewoskretny.

Wazna jest rowniez ilosc przekroczenia punktu wyjsciowego/koncowego, tu pod postacia "0".
Przy obliczaniu liczby > 13, bedzie wzrastac ilosc okrazen cyklicznie.

Sa rozne mozliwosci prezentacji graficznych, rowniez tabelaryczne, wtedy ta "cyklicznosc" bedzie wyrazac sie w okreslonych pozycjach (poziomach) uporzadkowanego ciagu.







Share this topic on FacebookShare this topic on GoogleShare this topic on MagnoliaShare this topic on TwitterShare this topic on Google buzz 

Zapisane
Lucyfer
Administrator
Ekspert
*****
Wiadomości: 577




Zobacz profil Email
« Odpowiedz #2 : Styczeń 15, 2015, 12:23:12 »


Cytat: Lady F
Nie wiem jakich srodkow dydaktycznych uzywal pan Ksawery z powyzszego postu mojego, ale ja uznalam, ze chyba najlatwiej jest wytlumaczyc te cyklicznosc na podstawie diagramu kolowego.

Prostym środkiem dydaktycznym może być zwykły zegarek  Uśmiech
W przypadku zegarka operujemy kilkoma modułami: mod12 (12=0) mod24 (24=0) mod60 (60=0)

Przykład mnożenia z wykorzystaniem geometrii:








Share this topic on FacebookShare this topic on GoogleShare this topic on MagnoliaShare this topic on TwitterShare this topic on Google buzz 

« Ostatnia zmiana: Styczeń 22, 2015, 10:34:59 wysłane przez Lucyfer » Zapisane
Lady F
Zaawansowany użytkownik
****
Wiadomości: 273


Merlin



Zobacz profil
« Odpowiedz #3 : Styczeń 16, 2015, 14:11:46 »


W istocie czesto mozna spotkac sie z okresleniem arytmetyki modularnej, arytmetyka zegarowa.

Ja moj "zegar" troche rozbudowalam.




Wykorzystujac powyzszy przyklad dokladnie widac sposob dodawania, odejmowania, mnozenia. I jak pan Ksawery wspomina, dzielenie moze sprawiac pewien klopot, wiec nalezy sobie to na danym modelu oczywiscie zaprezentowac.
Operujemy liczbami calkowitymi. I dla przykladu podalam graficzne rozwiazanie zadania

30 : 7

 

wynikiem ktorego otrzymalam 7 jednakowych zbiorow oraz dwa elementy dopelniajace ciag do punktu wyjsciowego, zerowego.

30 : 7 = 4 (rowne czesci) oraz 2 elementy w skrocie, 30 : 4 = 7 reszty 2.

Tak sie sklada, ze arytmetyka modularna szczegolowo zajmuje sie wlasnie resztami z dzielenia, grupujac je na rozne sposoby.

Za wiki:
"Arytmetyka modularna, arytmetyka reszt – w matematyce system liczb całkowitych, w którym liczby „zawijają się” po osiągnięciu pewnej wartości nazywanej modułem, często określanej terminem modulo (skracane mod). Pierwszy pełny wykład arytmetyki reszt przedstawił Carl Friedrich Gauss w Disquisitiones Arithmeticae („Badania arytmetyczne”, 1801).

Arytmetyka modularna pojawia się wszędzie tam, gdzie występuje powtarzalność i cykliczność; dotyczy ona samego mierzenia czasu i jako taka jest podstawą działania kalendarza (zob. dalej). Ponadto korzysta się z niej w teorii liczb, teorii grup, kryptografii, informatyce, przy tworzeniu sum kontrolnych, a nawet przy tworzeniu wzorów[1]. Zasada działania szyfru RSA oraz Test Millera-Rabina opierają się na własnościach mnożenia w arytmetyce modularnej liczb całkowitych o module wyrażającym się dużą liczbą pierwszą."

Share this topic on FacebookShare this topic on GoogleShare this topic on MagnoliaShare this topic on TwitterShare this topic on Google buzz 

Zapisane
Lady F
Zaawansowany użytkownik
****
Wiadomości: 273


Merlin



Zobacz profil
« Odpowiedz #4 : Styczeń 18, 2015, 13:39:31 »


Czy aby na pewno zegar modularny jest tym zegarem, ktory znamy z zycia codziennego?
  myśli



Wykonalam pewien model uproszczonego systemu trzynastkowego, gdyz wciaz nawiazuje do przykladu z mojego pierwszego postu o arytmetyce modularnej w przedszkolu.



Zachecam rowniez do zapoznania sie z roznymi systemami liczbowymi.

http://pl.wikipedia.org/wiki/System_liczbowy

Share this topic on FacebookShare this topic on GoogleShare this topic on MagnoliaShare this topic on TwitterShare this topic on Google buzz 

« Ostatnia zmiana: Kwiecień 18, 2017, 13:18:38 wysłane przez Leszek » Zapisane
Lucyfer
Administrator
Ekspert
*****
Wiadomości: 577




Zobacz profil Email
« Odpowiedz #5 : Styczeń 20, 2015, 14:47:31 »


Cytat: Ksawery Stojda
Z dzieleniem sam sobie już nie poradził, ale z pewną moją pomocą ustaliliśmy w końcu, że 5÷3=6  — to, że każda liczba daje się podzielić przez każdą, było dodatkowym pożytkiem z naszego sposobu liczenia.
http://osswiata.pl/stojda/2014/10/02/arytmetyka-modularna-w-przedszkolu/



Cytat: Lady F
Wykorzystujac powyzszy przyklad dokladnie widac sposob dodawania, odejmowania, mnozenia. I jak pan Ksawery wspomina, dzielenie moze sprawiac pewien klopot, wiec nalezy sobie to na danym modelu oczywiscie zaprezentowac.
Operujemy liczbami calkowitymi. I dla przykladu podalam graficzne rozwiazanie zadania

30 : 7


30:7 = 4:7

Share this topic on FacebookShare this topic on GoogleShare this topic on MagnoliaShare this topic on TwitterShare this topic on Google buzz 

Zapisane
Lucyfer
Administrator
Ekspert
*****
Wiadomości: 577




Zobacz profil Email
« Odpowiedz #6 : Luty 26, 2017, 17:59:52 »


"Pokonać Ograniczenia Kalkulatora"

Cytat: SasQ
Po pierwsze, liczby się zapętlają. System pozycyjny, którego używamy do ich zapisywania (np. dziesiętny) opiera się na ciągach geometrycznych, więc posiada cechy samopodobieństwa (tłumaczenie dla ezo-świrów: "fraktalność"). Nie mogło być inaczej, skoro powtarzają się też cyfry, z których budujemy te liczby  Mrugnięcie Zmienia się jedynie skala, zależnie od pozycji danej cyfry. Właśnie dlatego 72:18 daje ten sam ciąg cyfr w wyniku, co 720:180, albo 7.2:1:8, czy 720:1.8. Różnią się jedynie skalą, czyli pozycjami tych cyfr (np. liczbą dopisanych zer, albo pozycją przecinka między częścią całkowitą a ułamkową). Wiedzieli o tym już Sumerowie, dlatego nie zapisywali przecinka oddzielającego część całkowitą od ułamkowej. Skalę liczby brało się z kontekstu obliczeń.

Skoro liczby się zapętlają, tworząc spiralę, można je opisać na tarczy. Obliczenia wykonywane na takiej tarczy będą niezależne od skali liczb. Ciągi cyfr uzyskiwane z jej pomocą będą takie same w każdej skali, i będą zależeć jedynie od cyfr liczb, które dodajemy/mnożymy/potęgujemy.

Na tym właśnie opiera się arytmetyka modularna (leżąca także u podstaw magicznej "matematyki wedyjskiej") oraz logarytmy, i na tym oparłem też działanie przyrządu obliczeniowego, który jakiś czas temu wymyśliłem i skonstruowałem na swoje potrzeby: tarczy logarytmicznej. Przypomina trochę suwak logarytmiczny, jednak dzięki zapętleniu pozwala skorzystać z cykliczności i samopodobieństwa systemu pozycyjnego. Oto jak wygląda taka tarcza: plik PDF możliwy do wydrukowania. Tarczę należy wyciąć i umieścić wewnątrz drugiego koła, przypinając ją pinezką wbitą w środek (np. na tablicy korkowej lub tekturowym pudle). Jeśli ciekawi Was, jak można wykonywać na niej obliczenia, i nigdy nie używaliście suwaka logarytmicznego, mogę później co nieco opisać na forum lub na swojej stronie.

Wracając jednak do wzorców w rozwinięciach dziesiętnych: Zauważmy, że podnoszenie liczby do potęgi powoduje jej "wirowanie" na takiej tarczy, i po każdym kolejnym wymnożeniu przez podstawę tarcza obróci się o pewien kąt. Tak więc kolejne potęgi tej podstawy tworzą serię punktów na obwodzie tej tarczy. Można zauważyć, że od miejsca na tarczy, w którym wylądujemy, zależy pierwsza cyfra wyniku. Jeśli zauważycie zależność dla tej pierwszej cyfry, możecie to zgeneralizować na dalsze cyfry, skalując obliczenia co każdy obrót o kolejną dziesiątkę. To pozwala znajdować kolejne cyfry. Więc aby znaleźć potęgę podstawy, która daje określony ciąg cyfr w zapisie dziesiętnym, wystarczy nałożyć ograniczenia na przedział kątów (sektor na tarczy), w jakim musi taka liczba lądować po określonej liczbie obrotów (mnożeń przez podstawę).

Jako że kręcenie tarczą byłoby mimo wszystko trochę niewygodne i czasochłonne, pozwoliłem maszynie mnie wyręczyć: napisałem prosty programik komputerowy, który "kręci tarczą" za mnie  Mrugnięcie i robi to o wiele szybciej, niż ja. Następnie odławia potęgi, które potencjalnie mogłyby wylądować w danym sektorze na tarczy, przeskakując od razu o tyle obrotów, ile potrzeba, by ponownie wylądować w tym sektorze. Dzięki temu liczba potrzebnych obliczeń i potęg do przetestowania drastycznie się zmniejsza i można je znaleźć w kilkanaście...dziesiąt sekund (w zależności od tego, ile cyfr zapisu dziesiętnego chcemy dopasować).

Podobnej sztuczki użyłem kiedyś, by pokonać ograniczenia mojego kalkulatora i poznać cyfry rozwinięcia dziesiętnego, które nie mieściły się na jego wyświetlaczu. Ba! Nawet te, które nie mieściły się w jego wewnętrznych rejestrach pamięci!  Uśmiech Przykład obrazkowy:




I krótkie wyjaśnienie jak to działa (choć było to raczej wyjaśnienie dla mnie, żebym nie zapomniał, więc bez szerszego kontekstu może być nieco enigmatyczne; ale jak to mówią, mądrej głowie dość po słowie  Mrugnięcie ):


Żródło: http://sasq.comyr.com/Stuff/Skany/Esencje/Decimal/01.jpg

Może o tym też powinienem coś napisać na swojej stronce?...   myśli

P.S.: W przeciwieństwie do tarczy Rodina, moja technika opiera się na spójnym systemie, działa doskonale, i pozwala wykonywać faktyczne obliczenia (jak widać).

Więcej: tutaj

Share this topic on FacebookShare this topic on GoogleShare this topic on MagnoliaShare this topic on TwitterShare this topic on Google buzz 

« Ostatnia zmiana: Luty 27, 2017, 12:09:17 wysłane przez Leszek » Zapisane
Lady F
Zaawansowany użytkownik
****
Wiadomości: 273


Merlin



Zobacz profil
« Odpowiedz #7 : Luty 27, 2017, 12:57:43 »



zrodlo: https://janeadamsart.wordpress.com/tag/sacred-geometry/#jp-carousel-8293

Tak sie sklada, ze cykle nakladaja sie na siebie tworzac w rezultacie jednolity statyczny obraz. Tarcza, ktora obraca sie o okreslona liczbe stopni w mierze katowej. Wartosciom tym przypisuje sie stale cechy, wlasciowosci, charaktery itd. i wsadza do rozdzialu pt. Okultyzm.

Arytmetyka modularna zas wyjasnia mechanizm dzialania tego swoistego "zegara zycia" w sposob pragmatyczny.

Share this topic on FacebookShare this topic on GoogleShare this topic on MagnoliaShare this topic on TwitterShare this topic on Google buzz 

« Ostatnia zmiana: Kwiecień 18, 2017, 13:19:57 wysłane przez Leszek » Zapisane
Lucyfer
Administrator
Ekspert
*****
Wiadomości: 577




Zobacz profil Email
« Odpowiedz #8 : Luty 27, 2017, 19:43:52 »


Cytat: Lady F
Tak sie sklada, ze cykle nakladaja sie na siebie tworzac w rezultacie jednolity statyczny obraz. Tarcza, ktora obraca sie o okreslona liczbe stopni w mierze katowej. Wartosciom tym przypisuje sie stale cechy, wlasciowosci, charaktery itd. i wsadza do rozdzialu pt. Okultyzm.
Arytmetyka modularna zas wyjasnia mechanizm dzialania tego swoistego "zegara zycia" w sposob pragmatyczny.


Kwadrat Wedyjski
Ciąg: 9,4,8,3,7,2,6,1,5


Vastu Shastra

Share this topic on FacebookShare this topic on GoogleShare this topic on MagnoliaShare this topic on TwitterShare this topic on Google buzz 

Zapisane
Strony: 1 2 »   Do góry
  Drukuj  
 
Skocz do:  

Powered by SMF 1.1.21 | SMF © 2006-2009, Simple Machines
BlueSkies design by Bloc | XHTML | CSS