Nassim Haramein & Marko Rodin & Milo Wolff > Marko Rodin

Arytmetyka Modularna

(1/3) > >>

Lady F:
Lucyfer -


--- Cytuj ---Proponuje założyć wątek o "Arytmetyce Modularnej" w dziale Marko Rodin
--- Koniec cytatu ---

Przychylam sie do propozycji.

I na poczatek zamiast nudnych definicji z wikipedii przedstawiam ciekawy artykul Ksawerego Stojdy, fizyka, pt. "Arytmetyka modularna w przedszkolu".

"Małe dziecię (sześciolatek w szkole) w ramach kontestacji wszystkiego — apostazji z matematyki — na pytanie do ilu umie liczyć, stwierdził, że do dwunastu. Kłamstwo oczywiste, bo on po prostu umie liczyć bez limitu (choć zapewne nie zna słów takich jak „milion”). Diabeł mnie podkusił, żeby w reakcji wpuścić go w arytmetykę modularną.


OK, dziecię drogie: znamy wyłącznie liczby 0,1,2,…12 . Poradzimy sobie! Możemy liczyć, wykonywać działania. Nie potrzebujemy więcej liczb. Te do 12  nam wystarczą. Po …11,12  mamy znów 0,1,2… . Możemy tak w kółko liczyć do upadłego. Ile to jest 2+3 ? 5  — świetnie. A ile to jest 11+3 ? – 14 ? Nie znamy przecież takiej liczby!!! No to odliczamy od 11  jeszcze 3  liczby dalej: 11⟶12,0,1 . Czyli 11+3=1 . Udało nam się nawet policzyć, że 3×5=2 . Z dzieleniem sam sobie już nie poradził, ale z pewną moją pomocą ustaliliśmy w końcu, że 5÷3=6  — to, że każda liczba daje się podzielić przez każdą, było dodatkowym pożytkiem z naszego sposobu liczenia.

No i jeszcze ten pożytek, że w naszej arytmetyce nie ma liczb ujemnych! −3  to 10 . Bo: 5−3=5+10=2=5+(−3) …

Bardzo mu się spodobała ta arytmetyka w ciele Z 13  . Długo trenował pisanie Z  z podwójną kreseczką. I już nie udawał, że nie rozumie tej 13  w zapisie Z 13  .
 Choć obawiam się, że nie dojdzie do ładu ze szkolną nauczycielką, która z pewnością podwójnej kreseczki w Z  (nawet Z  bez indeksu, czyli w nieskończonym zbiorze liczb całkowitych, o jakich uczy…) nigdy nie widziała, ani nie ma pojęcia, że po niemiecku `liczby’ to `Zahlen’, stąd to Z .

A na całkiem poważnie (raczej dla odrobinę starszych — z dedykacją dla 11-letniej Milki) — arytmetyką modularną warto zająć się głębiej. Dopóki operujemy na małych liczbach (mniejszych od „największej liczby jaką znamy”) to nie różni sie ona niczym od normalnej, szkolnej arytmetyki — poza tym, że zawsze można wykonać dzielenie bez reszty, jak to nasze 5÷3= Z 13  6 . Ale zawsze, jeśli wynik jakiegoś działania w „zwykłej” arytmetyce istnieje i mieści się w zakresie znanych nam liczb, to nasza arytmetyka daje identyczny wynik. U nas 6÷2  też równa się 3 , a 3+5=8 . Ale, gdy zaczynamy liczyć „z zawinięciem”, to pewne obliczenia nawet na ogromnych (tysiąccyfrowych) liczbach stają się wykonalne, a inne pozostają poza możliwościami obliczeniowymi i pojawia się mnóstwo ciekawych własności, na których bazuje połowa współczesnej kryptografii. Tyle, że tu zawijamy nie po 12, ale po jakiejś tysiąccyfrowej liczbie.

Okazuje się też, że arytmetyka modularna jest jak najbardziej do pojęcia i zrozumienia dla sześciolatka. Kontestującego szkołę i jej ćwiczenia w z rachunkami w zakresie do 20 .

Komputery, poza bardzo specjalizowanymi programami do obliczeń na dużych liczbach, są na tyle głupie, że też używają arytmetyki modularnej i to w dodatku z modułem nie będącym wcale liczbą pierwszą, tylko (zazwyczaj w dzisiejszych czasach) zawijają na 2^ 64  , czyli po 18,446,744,073,709,551,615. Z dużymi liczbami nie dają sobie rady (nie ma mowy o tysiąccyfrowych! najwyżej 20-cyfrowe, a w starszych 10-cyfrowe…) — liczą jak my tutaj, tyle, że zawijając nie na 13, ale tak, że utożsamiają 18,446,744,073,709,551,616 z zerem…

(*) — dzielenie jest zawsze wykonalne tylko w ciałach o module, będącym liczbą pierwszą: Z p  , gdzie p  jest liczbą pierwszą, jak w naszym Z 13  …"

//P.S. Liczba Z powinna byc pisana z podwojna kreseczka
http://pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_ca%C5%82kowite//

zrodlo artykulu: http://osswiata.pl/stojda/2014/10/02/arytmetyka-modularna-w-przedszkolu/



Lady F:
Nie wiem jakich srodkow dydaktycznych uzywal pan Ksawery z powyzszego postu mojego, ale ja uznalam, ze chyba najlatwiej jest wytlumaczyc te cyklicznosc na podstawie diagramu kolowego.
Kolo podzielilam na ilosc odpowiadajaca okreslonemu zbiorowi liczb calkowitych. Moze byc dowolna.
W tekscie jest mowa o 13 elementach zbioru od 0 do 12. Wiec podzielilam kolo na 13 rownych czesci wpisujac po zewnetrzenj stronie prawoskretny ciag wzrastajacy, a po wewnetrznej lewoskretny.

Wazna jest rowniez ilosc przekroczenia punktu wyjsciowego/koncowego, tu pod postacia "0".
Przy obliczaniu liczby > 13, bedzie wzrastac ilosc okrazen cyklicznie.

Sa rozne mozliwosci prezentacji graficznych, rowniez tabelaryczne, wtedy ta "cyklicznosc" bedzie wyrazac sie w okreslonych pozycjach (poziomach) uporzadkowanego ciagu.

Arytmetyka Modularna





Lucyfer:

--- Cytat: Lady F ---Nie wiem jakich srodkow dydaktycznych uzywal pan Ksawery z powyzszego postu mojego, ale ja uznalam, ze chyba najlatwiej jest wytlumaczyc te cyklicznosc na podstawie diagramu kolowego.
--- Koniec cytatu ---

Prostym środkiem dydaktycznym może być zwykły zegarek  :)
W przypadku zegarka operujemy kilkoma modułami: mod12 (12=0) mod24 (24=0) mod60 (60=0)

Przykład mnożenia z wykorzystaniem geometrii:

Arytmetyka Modularna Arytmetyka Modularna






Lady F:
W istocie czesto mozna spotkac sie z okresleniem arytmetyki modularnej, arytmetyka zegarowa.

Ja moj "zegar" troche rozbudowalam.

Arytmetyka Modularna


Wykorzystujac powyzszy przyklad dokladnie widac sposob dodawania, odejmowania, mnozenia. I jak pan Ksawery wspomina, dzielenie moze sprawiac pewien klopot, wiec nalezy sobie to na danym modelu oczywiscie zaprezentowac.
Operujemy liczbami calkowitymi. I dla przykladu podalam graficzne rozwiazanie zadania

30 : 7

 Arytmetyka Modularna

wynikiem ktorego otrzymalam 7 jednakowych zbiorow oraz dwa elementy dopelniajace ciag do punktu wyjsciowego, zerowego.

30 : 7 = 4 (rowne czesci) oraz 2 elementy w skrocie, 30 : 4 = 7 reszty 2.

Tak sie sklada, ze arytmetyka modularna szczegolowo zajmuje sie wlasnie resztami z dzielenia, grupujac je na rozne sposoby.

Za wiki:
"Arytmetyka modularna, arytmetyka reszt – w matematyce system liczb całkowitych, w którym liczby „zawijają się” po osiągnięciu pewnej wartości nazywanej modułem, często określanej terminem modulo (skracane mod). Pierwszy pełny wykład arytmetyki reszt przedstawił Carl Friedrich Gauss w Disquisitiones Arithmeticae („Badania arytmetyczne”, 1801).

Arytmetyka modularna pojawia się wszędzie tam, gdzie występuje powtarzalność i cykliczność; dotyczy ona samego mierzenia czasu i jako taka jest podstawą działania kalendarza (zob. dalej). Ponadto korzysta się z niej w teorii liczb, teorii grup, kryptografii, informatyce, przy tworzeniu sum kontrolnych, a nawet przy tworzeniu wzorów[1]. Zasada działania szyfru RSA oraz Test Millera-Rabina opierają się na własnościach mnożenia w arytmetyce modularnej liczb całkowitych o module wyrażającym się dużą liczbą pierwszą."

Lady F:
Czy aby na pewno zegar modularny jest tym zegarem, ktory znamy z zycia codziennego?
  :mysl:



Wykonalam pewien model uproszczonego systemu trzynastkowego, gdyz wciaz nawiazuje do przykladu z mojego pierwszego postu o arytmetyce modularnej w przedszkolu.

Arytmetyka Modularna

Zachecam rowniez do zapoznania sie z roznymi systemami liczbowymi.

http://pl.wikipedia.org/wiki/System_liczbowy

Nawigacja

[0] Indeks wiadomości

[#] Następna strona

Idź do wersji pełnej