Siemka
Patrzcie jeno, co wygrzebałem w czeluściach Internetów
Pewne studio tworzące gry zrobiło grę, która ma uczyć dzieciaki geometrii poprzez zabawę w taki sposób, że nawet się nie zorientują, że uczą się geometrii z "Elementów" Euklidesa
Gra nazywa się
"DragonBox Elements" i jest już drugą grą z ich stajni (poprzednia uczyła algebry).
Zamysł gry jest mniej więcej taki, że pewną wyspę nawiedza smok, i trzeba pomóc wodzowi zwerbować wojowników, którzy pomogą mu pokonać smoka. Wojownicy to przeróżne figury geometryczne: trójkąty, czworokąty itd., a każdy z nich ma ponadto jakieś specjalne "moce", które mogą później pomóc w rozwiązywaniu kolejnych łamigłówek. Wojownicy jednak ukrywają się w dżungli, więc najpierw trzeba się nauczyć ich znajdować.
Jako że wrzucili na YouTube nagrania z rozgrywki, pozwoliłem sobie je poniżej zacytować wraz z dokładniejszą analizą co się w nich dzieje. Można sobie obejrzeć i poczytać moje objaśnienia, jeśli ktoś chce się nauczyć podstaw geometrii i godnie reprezentować to forum
Pierwszy rozdział jest dość prosty, bo to dopiero rozgrzewka:
Na samym początku gra instruuje cię jak znajdować ukrywających się wojowników: trzeba zakreślić na ekranie palcem lub kursorem myszy kształt figury zamkniętej (trójkąta lub czworokąta) wzdłuż jego boków, a wtedy wewnątrz niej pojawia się wojownik. Wódz z reguły mówi nam, ile i jakich wojowników potrzebuje, i takich trzeba znaleźć.
00:10 Na drugim poziomie nie wszystkie figury są już trójkątami, co zmusza gracza, by nauczył sie je odróżniać.
00:30 Z czasem trójkąty robią się coraz trudniejsze do znalezienia, gdy współdzielą boki z jakimiś innymi figurami.
00:37 Co jakiś czas gracz dostaje jakąś nową zdolność. Tym razem jest to znajdowanie czworokątów.
01:14 Czasami znalezienie danej figury wymaga nieco sprytu i wyobraźni
Na przykład tutaj łatwo znaleźć dwa trójkąty, ale gdzie schował się czworokąt?
Ach, no tak, trzeba objechać palcem oba trójkąty, bo ich boki stanowią zarazem boki czworokąta
01:28 Podobnie tutaj łatwo znaleźć trójkąt i czworokąt. Ale wódz domaga się
dwóch trójkątów. Gdzie jest ten drugi?
01:40 Czasami niektóre zagadki da się rozwiązać na więcej niż jeden sposób. Czy taki był zamysł twórców? Czy może ich gra pozwala robić rzeczy, których nie przewidzieli, o ile trzymamy się reguł gry? (czyli geometrii) Trudno wyczuć... Ale grunt, że działa
01:58 Nie wszystko, co wygląda jak trójkąt, musi nim być
Boki trójkąta muszą być proste; nie mogą być połamane
02:06 Czasami figury mogą nawet nachodzić na siebie i współdzielić jakieś fragmenty swoich boków.
OK, czas na rozdział 2:
Już na wstępie dostajemy nową moc: Załóżmy, że znaleźliśmy niedawno wojownika, który jest jakimś trójkątem (dowolnym). Tak się jednak składa, że dwa boki tego trójkąta mają ten sam kolor (co oznacza, że są tej samej długości). Możemy wtedy "awansować" tego wojownika na większego twardziela
Wystarczy kliknąć na wojowniku, a następnie wskazać palcem lub myszą dwa jednakowe boki. Wtedy wojownik ewoluuje i wyrastają mu dwa rogi
Rozumiecie? Rogi... narożniki... kąty...
Trójkąt równoramienny (czyli taki, który ma dwa boki tej samej długości) ma zarazem dwa jednakowe kąty (przy podstawie). Najpewniej to było motywacją twórców gry, by przedstawić trójkąt równoramienny jako stworka z dwoma rogami. Całkiem sprytne według mnie
00:16 Już w następnym etapie możemy przetestować naszą nową zdolność, znajdując kilka wojowników dwurożnych (trójkątów równoramiennych). Warto tutaj zauważyć, że gracz uczy się w ten sposób stosować definicję trójkąta równoramiennego, by na podstawie wiedzy, że jakiś trójkąt ma dwa boki równe, mógł wywnioskować, że trójkąt jest równoramienny. Na razie jeszcze nic przydatnego z tej wiedzy nie wynika dla gracza (poza zwerbowaniem nowych wojowników oczywiście
), ale już wkrótce ta wiedza okaże się przydatna
01:15 Kolejna nowa zdolność pozwala znajdować trójkąty równoboczne (takie, które mają trzy boki równej długości): kliknij na wojownika, a następnie wskaż palcem lub myszą trzy boki, które mają ten sam kolor (czyli tę samą długość), a wtedy wojownik ewoluuje i awansuje na trzyrożnego badassa
To też łatwo skojarzyć: trójkąt równoboczny ma nie tylko trzy
boki tej samej długości, ale także trzy jednakowe
kąty (kąty = różki).
03:21 I znów nowa zdolność: tym razem dowiadujemy się, że możemy kliknąć obwód koła, a następnie złapać za jego promień i zakręcić nim jak śmigłem (lub, sądząc po odgłosie, mieczem świetlnym
), by znaleźć wszystkie pozostałe odcinki, które są promieniami tego koła (zmieniają wtedy kolor na taki sam, jak tego promienia, którym kręciliśmy). Jest to nic innego, jak zastosowanie Definicji 15 z "Elementów" Euklidesa, która definiuje koło jako figurę zawartą wewnątrz linii, na którą wszystkie odcinki padające ze wspólnego środka (promienie) mają tę samą długość. Lub bardziej po ludzku: Wszystkie promienie tego samego okręgu są równe. Ta zdolność przydaje się później do przenoszenia długości znanych odcinków w inne miejsca, by poznać długości innych, nieznanych odcinków. Jeśli taki inny odcinek jest bokiem trójkąta, pozwala to czasami odkryć, że ten trójkąt jest równoramienny albo nawet równoboczny
Tak jest np. w
03:40, gdy promienie okręgu stanowią zarazem ramiona trójkątów równoramiennych.
03:51 Albo tak jak tutaj, gdzie musimy znaleźć trójkąt równoramienny, jednak na pierwszy rzut oka nie ma tam takiego: żaden trójkąt nie ma boków oznaczonych tym samym kolorem
Ale jeden odcinek jest oznaczony na czerwono (czyli znamy jego długość). Więc jeśli obrócimy go wewnątrz okręgu, możemy znaleźć inny odcinek (inny promień tego samego okręgu), który też ma tę samą długość (zaznacza się wtedy na czerwono). Ale ten odcinek też jest promieniem następnego okręgu, więc jeśli go obrócimy, znajdujemy dwa inne promienie tego okręgu, i one też zaznaczają się na czerwono. I tak się szczęśliwie składa, że są to właśnie boki trójkąta, co do którego mieliśmy wątpliwości
Teraz już wiemy, że jego ramiona mają tę samą długość, więc możemy "awansować" znalezionego w nim wojownika na dwurożnego
Jest to pierwszy moment, w którym gracz uczy się logicznej dedukcji i dowodzenia, bo rozwiązanie tej łamigłówki to nic innego, jak znalezienie rygorystycznego dowodu matematycznego, że ten trójkąt jest równoramienny, łącząc kilka znanych praw i faktów w łańcuch wynikania
Gracz uczy się stosować prawa geometrii ("moce"), które poznał do tej pory, by dzięki nim udowodnić coś, co nie było mu dane bezpośrednio.
04:08 A ten obrazek pewnie wszyscy tutaj znają
To nic innego,jak słynna Vesica Piscis (rybi pęcherz/naczynie), czyli dwa przecinające się okręgi o wspólnym promieniu. I zarazem pierwsza Propozycja z pierwszej Księgi "Elementów" Euklidesa: konstrukcja trójkąta równobocznego
Wódz zleca nam znaleźć jednego wojownika dwurożnego (trójkąt równoramienny) i jednego trójrożnego (trójkąt równoboczny). Ale gdzie one są? Na obrazku mamy tylko jeden trójkąt i znamy długość tylko jednego boku (niebieskiego)
No cóż... skorzystajmy więc z naszych mocy: obróćmy promieniem lewego koła, by znaleźć drugi promień i zaznaczyć go na niebiesko. Tak oto mamy już trójkąt równoramienny, bo dowiedzieliśmy się, że drugi bok też ma niebieską długość. Ale jeśli obrócimy też tym nowo znalezionym promieniem w drugim okręgu, to dowiemy się, że także trzeci bok ma tę samą długość, bo też jest promieniem tego okręgu
Mamy więc trójkąt nie tylko równoramienny, ale także równoboczny. Obaj poszukiwani wojownicy kryli się wewnątrz tego samego trójkąta
I tu ciekawostka: Współcześnie definiuje się trójkąt równoramienny jako taki, który ma dwa jednakowe boki. Ale w znaczeniu "co najmniej dwa", a nie "tylko dwa". Oznacza to, że każdy trójkąt równoboczny (mający trzy boki równe) jest zarazem trójkątem równoramiennym (bo jeśli ma trzy boki równe, to ma też dwa). Jeśli jednak zajrzymy do "Elementów" Euklidesa i wczytamy się dokładniej w jego Definicję 20, to zobaczymy, że Euklides definiował trójkąt równoramienny jako ten, który ma
tylko dwa boki równe. Jeśli miał wszystkie trzy równe, to był równoboczny, ale już nie równoramienny. Natomiast trójkąt ró
żnoboczny (przeczytaj dokładnie!) był takim, w którym żaden bok nie ma takiej samej długości, jak któryś z pozostałych. Podzielił więc trójkąty według długości boków na trzy
rozłączne kategorie; inaczej, niż robią to współcześni matematycy. Tak więc Euklides nie uznałby takiego rozwiązania tej zagadki. Bo dla niego wojownik ma albo dwa rogi, albo trzy.
Czy było to słuszne? No cóż, taki podział może powodować pewne problemy: nie możemy zastosować do trójkąta równobocznego praw, które działały dla trójkąta równoramiennego, bo według takiej definicji trójkąt równoboczny nie jest równoramienny
. Ale właściwie dlaczego? Przecież te prawa działają. Dlatego chyba jednak lepiej zdefiniować trójkąt równoramienny jako taki, w którym
co najmniej dwa boki są równe.
04:23 Tutaj mamy dla zmyłki zaznaczone trzy promienie okręgu różnymi kolorami. Jeśli wybierzemy dowolny z nich i obrócimy, zaznaczymy je tym samym kolorem, co pozwoli spełnić zachciankę wodza i znaleźć dwa trójkąty równoramienne. Czy ta zmyłka to dobry pomysł? Z jednej strony tak, bo uczy gracza, że nie należy ślepo ufać temu, co się widzi na rysunku. Rysunek może być mylący, ale prawa geometrii nigdy. Jeśli więc zastosujemy te prawa, możemy ten błąd wykryć i usunąć. Z drugiej jednak strony, jeśli potraktujemy te kolory odcinków jako założenia, to okaże się, że mamy zadanie ze sprzecznymi założeniami, a sprzeczne założenia prowadzą do fałszu, czyli teoretycznie z punktu widzenia logiki taka zagadka nie powinna mieć rozwiązania, bo jest "niemożliwa": warunki zadania są niemożliwe do spełnienia, bo każdy ciągnie w inną stronę, są sprzeczne. Z trzeciej jednak strony
czasami w obliczeniach geometrycznych tak się zdarza, że znajdujesz długości jakichś odcinków, i dla każdego z nich otrzymujesz inne wyrażenie algebraiczne, które na pozór nie przypomina żadnego z pozostałych. Ale później jakieś reguły geometrii sugerują ci, że te odcinki
muszą być równe, i gdy przekształcisz te wyrażenia w jakiś sposób, to faktycznie okazuje się, że da się przekształcić jedno w drugie. Czyli na początku wydawały się mieć różne długości (z powodu różnych wzorów), ale później okazywały się być tymi samymi (tylko wyrażonymi w różny sposób). Mnie się to często zdarza w obliczeniach, i często prowadzi do ciekawych odkryć, bo np. pozwala odkryć, że √(7+√48) = 2 + √3
04:42 Tu kolejny przykład łańcucha dedukcyjnego, który pozwala udowodnić, że trójkąt po prawej stronie jest równoramienny. Przy okazji pokazuje też kilka przykładów odcinków wewnątrz okręgu, które nie są promieniami (bo nie łączą środka z obwodem).
05:03 W tej zagadce jest kolejny haczyk: Wódz każe nam znaleźć trójkąt równoramienny. Można to zrobić dość prosto tak, jak zostało pokazane. Ale na obrazku są trzy trójkąty. Czyż ten trzeci (na środku u góry) nie wygląda na równoramienny?
Przecież on też jest zawarty między dwoma promieniami okręgu. Dlaczegóż by więc nie zaznaczyć jego?
No więc tu jest właśnie ten haczyk
Bo skąd my właściwie wiemy, że jego ramiona to faktycznie są promienie tego okręgu? Albo inaczej: skąd my właściwie wiemy, że punkt, w którym te linie się spotykają, to faktycznie jest środek okręgu?
Gdyby odcinki były oznaczone tym samym kolorem, moglibyśmy stwierdzić, że przynajmniej leży on na średnicy, ale nadal nie wiedzielibyśmy, czy dokładnie w środku (i czy odcinki te są promieniami). Podobnie jest z okręgiem po prawej: w okolicach środka ma aż trzy punkty! Który z nich jest tym prawdziwym środkiem?
Na oko wygląda, że jest to ten punkt po lewej, bo zbiegają się w nim trzy linie wyglądające na promienie. Ale czy to na pewno są promienie? Nie wiemy, bo nie znamy ich długości
I niestety obrócenie promieniem środkowego koła nie pomoże nam się tego dowiedzieć, bo żaden z tych odcinków nie jest promieniem środkowego koła. Więc być może ten trójkąt po prawej jest równoramienny, a być może nie jest – tego nie wiemy, i z założeń zadania nie da się tego udowodnić. Dlatego pozostaje nam tylko jedna możliwość: trójkąt po lewej, dla którego taki dowód jest możliwy, bo jego ramiona są promieniami tego okręgu.
Przy okazji warto zauważyć, że twórcy gry zawarli w niej drobną podpowiedź: Gdy zaznaczy się obwód koła, to ten punkt, który jest jego prawdziwym środkiem, zmienia wygląd: nie ma już łebka płaskiego, jak jakiś zwykły gwóźdź, lecz z krzyżykiem, jak w śrubce, która może się obracać
05:43 Kolejna nowa moc: gdy wewnątrz jakiegoś trójkąta siedzi wojownik dwurożny (a więc wiemy, że ten trójkąt jest równoramienny), i znamy długość jednego z ramion tego trójkąta (jest oznaczony kolorem), to możemy kliknąć na wojowniku i poprosić go, by użył swojej mocy i skopiował ten kolor na drugi bok. Jest to więc nic innego,jak element dowodu, w którym znamy jeden bok trójkąta równoramiennego i korzystamy z wiedzy o tym, że ten trójkąt jest równoramienny, by stwierdzić, że także drugi bok musi mieć tę samą długość (i w ten sposób poznajemy tę długość). Ciekawe, czy któryś dzieciak zauważy, jak gładko nauczył się starożytnej techniki dowodzenia, zwanej
modus ponens, i to podwójny!
I tu też można zauważyć drobną podpowiedź: Gdy któryś wojownik posiada moc, która nie została jeszcze wykorzystana, jego wygląd jest nieco inny: wygląda na skupionego i z jego czoła (trzeciego oka?) błyskają promyki. Może to podpowiedzieć graczowi, że istnieje jakaś reguła geometryczna, której jeszcze nie wykorzystał, a która może prowadzić do rozwiązania zagadki.
06:05 Od razu korzystamy z tej nowej mocy: mamy tutaj całą serię trójkątów, co do których wiemy, że są równoramienne (ale nie znamy długości ich ramion). Na końcu tego łańcucha śpi sobie jakiś nieznany trójkąt, w którym znamy jeden bok: czerwony. Ale taki sam czerwony bok widzimy też na początku łańcucha, jako jeden z boków trójkąta równoramiennego!
Możemy więc poprosić dwurożnego wojownika wewnątrz trójkąta, by skopiował ten bok na drugie ramię. I to samo z następnym dwurożnym wojownikiem, i następnym... aż dowiemy się, że także drugi bok ostatniego trójkąta jest czerwony. To pozwoli nam stwierdzić, że ten ostatni trójkąt też jest równoramienny i "awansować" wojownika na dwurożnego, werbując go do bandy
06:46 Tu pomagamy wodzowi udowodnić, że sześciokąt składa się z sześciu trójkątów równobocznych. Brzmi znajomo?
Czy potrafi ktoś podać, gdzie w "Elementach" Euklides zrobił to samo?
Przy okazji widzimy, że trójrożni wojownicy też mają tę moc: jeśli znany jest jeden z ich boków, potrafią skopiować go na wszystkie pozostałe boki (które w trójkącie równobocznym mają tę samą długość).
OK, to na razie tyle. W następnym odcinku omówię następny rozdział gry
A jak Wam się podoba ta gra jak do tej pory? Jestem ciekaw Waszych komentarzy.
P.S.: Poprawcież ten plugin do osadzania filmów z YouTube, bo dalej się kaszani z HTTPS :P
