Choose fontsize:
Witamy, Gość. Zaloguj się lub zarejestruj.
 
  W tej chwili nie ma nikogo na czacie
Strony: 1 2 3 4 5 »   Do dołu
  Drukuj  
Autor Wątek: 3. Podstawowe pojęcia  (Przeczytany 49133 razy)
0 użytkowników i 1 Gość przegląda ten wątek.
Leszek
Administrator
Ekspert
*****
Płeć: Mężczyzna
Wiadomości: 1646


4357533

swietageometria.info swietageometria Leszko2012
Zobacz profil WWW Email
« : Sierpień 14, 2010, 13:09:47 »


W pierwszych 14 postach tego wątku znajduje się kopia tematów ze strony WWW: http://www.swietageometria.info/podstawowe-pojecia - EDIT: na stronie WWW podstawowe pojęcia są aktualizowane

Święta geometria opisuje świat swoim językiem. Poniżej wyróżniono kilkanaście pojęć którymi się ona dziś posługuje. Pojawią się one w różnych kontekstach, kiedy będziemy opisywać człowieka i jego związki ze światem i wszechświatem. Możesz się z nimi zapoznać, ale nie musisz. Jeśli zajdzie potrzeba, zawsze możesz tutaj wrócić. Niemniej polecam punkty o bryłach platońskich, złotej proporcji i fraktalach... Wink  A jeśli lubisz oglądać obrazki, to będziesz miał(a) tutaj na co zerknąć... Tematy zilustrowane są bowiem obficie. W kilku przypadkach także krótkimi filmikami, a w jednym filmem o zastosowaniu fraktali w naszym codziennym życiu. Życzę ciekawej lektury.

Poniżej - spis treści pierwszych 14 tematów tego wątku

   1. Punkt, linia, krzywa, płaszczyzna i brył - wymiary
   2. Jeszcze o wymiarach
   3. Wielokąty foremne i bryły platońskie
   4. Bryły platońskie - stellacje, duale, inne przekształcenia
   5. Symetria, stosunek i proporcja
   6. Kwiat życia
   7. Sześcian Metatrona
   8. Gwiezdna Matka
   9. Złoty podział
  10. Złoty prostokąt, złoty trójkąt i pentagram
  11. Złota spirala, spirala i ciąg Fibonacciego
  12. Sześcio-ośmiościan i "jitterbug" Buckminster Fullera
  13. Torus i... alfabet.
  14. Fraktal

Share this topic on FacebookShare this topic on GoogleShare this topic on MagnoliaShare this topic on TwitterShare this topic on Google buzz 

« Ostatnia zmiana: Wrzesień 10, 2011, 20:40:25 wysłane przez Leszek » Zapisane

Leszek
Administrator
Ekspert
*****
Płeć: Mężczyzna
Wiadomości: 1646


4357533

swietageometria.info swietageometria Leszko2012
Zobacz profil WWW Email
« Odpowiedz #1 : Sierpień 17, 2010, 19:40:44 »


Punkt, linia, krzywa, płaszczyzna i bryła - wymiary

1. Przedmioty, czyli ciała materialne, które nas otaczają bądź to w pokoju, bądź na ulicach miasta, odznaczają się najróżnorodniejszymi cechami, wszystkie one mają jednak jedną cechę wspólną - zwaną rozciągłością - mianowicie, każde z nich zajmuje pewną część przestrzeni. Tę właśnie część przestrzeni, którą zajmuje przedmiot, nazywamy bryłą geometryczną. Rozróżniamy trzy wymiary bryły: długość, szerokość i wysokość. Widzimy je bez trudu w pokoju, łatwo spostrzegamy wymiary pudełka, skrzyni itp. Wysokość nazywamy niekiedy głębokością, np. głębokość studni; zamiast o szerokości mówimy o grubości muru.

2. Bryła jest oddzielona od innej bryły lub od otaczającej je przestrzeni powierzchniami. Sala, w której się znajdujemy, jest oddzielona od pozostałej części gmachu czterema ścianami, posadzką i sufitem. Budynek szkolny jest oddzielony, tj. ograniczony od otaczającej go przestrzeni, powierzchniami ścian zewnętrznych, powierzchnią ziemi oraz dachu.

3. Powierzchnia ma dwa wymiary: długość i szerokość.

4. Linia ma tylko jeden wymiar - długość.

5. Bryły, powierzchnie, linie i punkty, nazywane są figurami geometrycznymi.

Punkt poruszający się w przestrzeni kreśli linię, np. obserwując niebo w pogodną noc sierpniową, widzimy często srebrnoświetlne linie powstałe przez spadające gwiazdy.

Linia, kiedy porusza się w przestrzeni, zakreśla powierzchnię, np. koło szybko biegnącego wozu robi wrażenie pokrytego powierzchnią, powstałą przez ruch szprych kołowych.

Wreszcie przez ciągły ruch powierzchni możemy otrzymać ciało geometryczne, czyli bryłę. Rozżarzona do czerwoności blacha żelazna, spadając w ciemności z góry na dół, daje wyobrażenie ciała geometrycznego w postaci czerwonego słupa.

Można więc powiedzieć, że istnieje jeden zasadniczy twór geometryczny, mianowicie punkt (bezwymiarowy), przez ruch którego powstaje twór jednowymiarowy - zwany linią, przez ruch linii powstaje twór dwuwymiarowy - powierzchnia, wreszcie przez ruch powierzchni twór trójwymiarowy zwany bryłą. (...)

Jakkolwiek powierzchni nie możemy w rzeczywistości oderwać od bryły, linii od powierzchni, a punktu od linii, to jednak dla dokładniejszego zbadania ich własności można potraktować je w geometrii niezależnie od podstawowej figury geometrycznej, do której należą.

Opracowano na podstawie: Jan Zydler: Geometria
http://www.wiw.pl/matematyka/geometria/geometria_01_01.asp

Zobacz co o tych podstawowych wymiarach mówi Nassim Haramein.
Jest to fragment wykładu Przekroczyć Horyzont Zdarzeń część 1.0 (3:40 - 9:40 min)
<a href="http://www.youtube.com/watch?v=tybhFLRak08" target="_blank">http://www.youtube.com/watch?v=tybhFLRak08</a>

Zobacz też krótki fragment wykładu Chucka Misslera pt.
"Return Of The Nephilim" dotyczący m.in. pojęcia hiperprzestrzeni.
<a href="http://www.youtube.com/watch?v=u8Qg82psyK0" target="_blank">http://www.youtube.com/watch?v=u8Qg82psyK0</a>
Cały film do obejrzenia na kanale You Tube - STARSHIELDER
http://www.youtube.com/user/starshielder#g/c/27A0330A51F80DDE



Jeśli masz niedosyt, to zobacz
Czym jest pentagram w czterech wymiarach?
<a href="http://www.youtube.com/watch?v=GouZ1vCPp0o" target="_blank">http://www.youtube.com/watch?v=GouZ1vCPp0o</a>
Jest to fragment wystąpienia Vincenta Bridgesa
na konferencji "Stars & Stones" w Suffolk (UK) z kwietnia 2009r.

Share this topic on FacebookShare this topic on GoogleShare this topic on MagnoliaShare this topic on TwitterShare this topic on Google buzz 

« Ostatnia zmiana: Sierpień 20, 2010, 07:38:05 wysłane przez Leszek » Zapisane

Leszek
Administrator
Ekspert
*****
Płeć: Mężczyzna
Wiadomości: 1646


4357533

swietageometria.info swietageometria Leszko2012
Zobacz profil WWW Email
« Odpowiedz #2 : Sierpień 17, 2010, 19:46:32 »


Jeszcze o wymiarach

O podstawowych wymiarach była mowa w pierwszym i będzie mowa w ostatnim  podpunkcie tego działu, gdzie najdziesz film o fraktalach jako "ukrytym wymiarze" rzeczywistości. W tym miejscu  pojęcie wymiaru zostanie potraktowane bardzo obrazowo, bez wgłębiania się w zawiłe teorie na temat wymiarów. Każdy chętny z pewnością znajdzie coś na ten temat choćby w internecie. Zacznę więc od razu od informacji o filmie animowanym pt. "Flatland" (Płaskolandia). Film ten doczekał się pozytywnej recenzji ze strony Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego, które poleca go do obejrzenia zarówno dzieciom jak dorosłym, a jego bohaterami są... figury geometryczne.


Film przedstawia świat, który ma tylko dwa wymiary. Żyją w nim trójkąty, kwadraty, pięciokąty i inne figury. Nie ma w nim żadnej wysokości. Jest tylko długość i szerokość...

Zamieszczam poniżej filmik streszczający ideę filmu Flatland oraz dwa krótkie fragmenty o wymiarach z filmu Flatland.

 

Dr Quantum - Wizyta w Paskolandii [PL]
Ludzie żyją w trzech wymiarach (3D)... A może jest więcej wymiarów, tylko większość z nas
zachowuje się jak ów mały "płaszczak" żyjący w rzeczywistości dwuwymiarowej?
Dr Quantum - Wizyta w Paskolandi PL


Dwa fragmenty z animowanego filmu Flatland, obrazujące różnice między wymiarami.
W Płaskolandii pojawia się kula ze świata trójwymiarowego, aby zaświadczyć o istnieniu innego wymiaru,
którego mieszkańcy Płaskolandii nie znają, ale który czasem im się śni....
<a href="http://www.youtube.com/v/O0VrI3ArQ98?fs=1" target="_blank">http://www.youtube.com/v/O0VrI3ArQ98?fs=1</a>

A-Kwadrat (mieszkaniec Płaskolandii) zostaje zabrany do świata,
którego nigdy dotąd nie widział - do świata trzech wymiarów...
<a href="http://www.youtube.com/v/5XwNvuGqLIQ?fs=1" target="_blank">http://www.youtube.com/v/5XwNvuGqLIQ?fs=1</a>
Cały film znajdziesz tutaj:
http://www.youtube.com/user/Wyspa333

Książka, na podstawie której opracowano scenariusz filmu.

http://press.princeton.edu/titles/4774.html

Książeczka w wersji on-line (w j. angielskim)
"Flatland: A Romance of Many Dimensions
With Illustrations by the Author, A SQUARE"
http://www.ibiblio.org/eldritch/eaa/FL.HTM

Share this topic on FacebookShare this topic on GoogleShare this topic on MagnoliaShare this topic on TwitterShare this topic on Google buzz 

« Ostatnia zmiana: Sierpień 17, 2010, 19:58:33 wysłane przez Leszek » Zapisane

Leszek
Administrator
Ekspert
*****
Płeć: Mężczyzna
Wiadomości: 1646


4357533

swietageometria.info swietageometria Leszko2012
Zobacz profil WWW Email
« Odpowiedz #3 : Sierpień 17, 2010, 19:58:06 »



Jeszcze o wymiarach c.d


Świat dwuwymiarowy i trójwymiarowy w obrazach


Kula w dwóch i trzech wymiarach

Share this topic on FacebookShare this topic on GoogleShare this topic on MagnoliaShare this topic on TwitterShare this topic on Google buzz 

« Ostatnia zmiana: Sierpień 17, 2010, 20:19:51 wysłane przez Leszek » Zapisane

Leszek
Administrator
Ekspert
*****
Płeć: Mężczyzna
Wiadomości: 1646


4357533

swietageometria.info swietageometria Leszko2012
Zobacz profil WWW Email
« Odpowiedz #4 : Sierpień 17, 2010, 20:12:50 »



Jeszcze o wymiarach c.d.2


Świat dwuwymiarowy, trójwymiarowy oraz... cienie świata czterowymiarowego w "naszych" trzech wymiarach.

Cień (rzut) trójwymiarowego sześcianu na płaszczyźnie (statyczny i dynamiczny)

Cień (rzut) zwijanego trójwymiarowego sześcianu na płaszczyźnie (statyczny i dynamiczny)



Cień (rzut) czterowymiarowego sześcianu (hipersześcianu) w trzech wymiarach (statyczny i dynamiczny)

Tu można obracać powyższy hipersześcian klatka po klatce:
http://www.math.union.edu/~dpvc/Math/4D/rotation/HCube-Rotation/HCube-Rotation.html

Cień (rzut) zwijanego czterowymiarowego sześcianu (hipersześcianu) w trzech wymiarach (statyczny i dynamiczny)


Linki:
http://www.math.union.edu/~dpvc/Math/4D/rotation/welcome.html
http://www.math.union.edu/~dpvc/Math/4D/folding/welcome.html

Link zbiorczy: http://www.math.union.edu/~dpvc/Math/4D/welcome.html



Salvador Dali: Ukrzyżowanie (Corpus Hypercubus)


Hipersześcian w filmie Cube 2

O filmie.

"W sześcianach budzą się przerażone osoby. Nie pamiętają, jak się tu znalazły. Jest ich ósemka, w końcu spotykają się w jednym pomieszczeniu. Są wśród nich: starszy mężczyzna – pułkownik Maguire, inżynier elektryk Jerry, psychoterapeutka Kate, niewidoma nastolatka Sasza, projektant gier komputerowych Max,, prawniczka Julia i emerytka pani Paley. Chcą wydostać się z matni, wędrują wiec od sześcianu do sześcianu, starając się uniknąć pułapek. Nie pomaga numerowanie włazów – zawsze trafiają do trzech, tych samych sal. Niebawem okazuje się, że znajdują się w teserakcie – hipersześcianie, który istnieje w czterech wymiarach, do tej pory funkcjonujący tylko w teorii. Dodatkowym wymiarem jest Czas, upływający jednak w sposób przeczący znanym prawom fizyki. Rzeczywistość i czas są subiektywne, zaś przestrzeń nie ograniczona. Należy znaleźć odpowiedni moment zbiegnięcia się czterech płaszczyzn, by wydostać się z pułapki…"
http://www.stopklatka.pl/wydarzenia/wydarzenie.asp?wi=20638

Share this topic on FacebookShare this topic on GoogleShare this topic on MagnoliaShare this topic on TwitterShare this topic on Google buzz 

« Ostatnia zmiana: Sierpień 17, 2010, 20:18:02 wysłane przez Leszek » Zapisane

Leszek
Administrator
Ekspert
*****
Płeć: Mężczyzna
Wiadomości: 1646


4357533

swietageometria.info swietageometria Leszko2012
Zobacz profil WWW Email
« Odpowiedz #5 : Sierpień 17, 2010, 20:36:25 »



Wielokąty i bryły platońskie

Bryły platońskie składają się z powierzchni ograniczonych liniami prostymi. Powierzchnie te w przypadku brył platońskich nazywamy wielokątami foremnymi. Przytoczmy ich definicje.

Wielokąt to spójny obszar powierzchni dwuwymiarowej, ograniczony przez zamkniętą krzywą złożoną z co najmniej trzech punktów (wierzchołków wielokąta) połączonych odcinkami (bokami wielokąta).

Wielokąt foremny - to wielokąt, który ma wszystkie kąty wewnętrzne równe i wszystkie boki równej długości. Wszystkie wielokąty foremne są figurami wypukłymi. Wielokątem foremnym o najmniejszej możliwej liczbie boków (3) jest trójkąt równoboczny.
http://pl.wikipedia.org/wiki/Wielok%C4%85t_foremny

Chciałbym wymienić tu trzy wielokąty foremne: trójkąt, kwadrat i pięciokąt, gdyż to właśnie  z nich zbudowane (złożone) są wielościany foremne, czyli tzw. bryły platońskie będące wyczerpującym zestawem wielościanów foremnych (wyczerpującym, bo  istnieje tylko pięć wielościanów foremnych). Wielościany foremne to bryły, których wszystkie ściany są przystającymi wielokątami foremnymi i w których z każdego wierzchołka wychodzi tyle samo krawędzi.


Pojedynczy wielokąt (trójkąt równoboczny) daje się złożyć w wielościan - czworościan foremny.
Inne wielościany tworzymy poprzez dodawanie do siebie kolejnych wielokątnych ścian.


Tak więc z trójkątów równobocznych złożyć można trzy bryły idealne - tetraedr (czworościan foremny), oktaedr (ośmiościan foremny), ikosaedr (dwudziestościan foremny). Z kwadratów można złożyć heksaedr (sześcian). Istnieje wreszcie piąta bryła foremna - dodekaedr, zbudowana z 12 pięciokątów regularnych, którą Platon uznał za zespolenie całości, bryłę łączącą wszystkie elementy.
Dla Platona bryły te miały zasadnicze znaczenie, uznawał bowiem, że materia zbudowana jest z całostek i nie jest podzielna, a całostki te mają charakter idealny. Nie są bowiem ciałami stałymi, lecz figurami geometrycznymi. Idealną najprostszą figurą geometryczną jest trójkąt, czyli płaszczyzna ograniczona najmniejszą liczbą linii prostych. Według Platona trójkąty są najprostszym elementem budulcowym, podstawową cegiełką, z której zbudowany jest Kosmos. Platon uznał, że cała rzeczywistość jest zorganizowana jako odbicie owych podstawowych figur geometrycznych, jako form najdoskonalszych.

Na podstawie: http://www.math.edu.pl/bryly-platonskie

Więcej o wielościanach foremnych:
http://www.wiw.pl/matematyka/geometria/geometria_13_05.asp


Bryły platońskie nieco artystycznie.

Dwunastościan na obrazie "Ostatnia wieczerza" Salvadora Dali.

Źródło: http://www.ellensplace.net/dali.html


Bryły platońskie (ze ścianami i bez ścian) narysowane przez Leonarda Da Vinci do książki Luca Pacioli pt. Boska Proporcja (1509r)

Dwunastościan i dwudziestościan

Czworościan

Poniżej: studium fontanny Loenarda Da Vinci
(w środku m.in. czworościan wpisany w sześcian) Leonardo Da Vinci - Sześciany


Źródło: http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/leonardo.html


Wielościany i twierdzenie Eulera
Warto przypomnieć, że każda struktura w przestrzeni trójwymiarowej składa się z trzech podstawowych elementów: wierzchołków, krawędzi i ścian. Leżą one u podstaw każdej geometrycznej analizy i przy ich pomocy można opisać dowolny wielościan.  Osiemnastowieczny matematyk Leonard Euler pozostawił po sobie twierdzenie o wielościanach wypukłych opisujące zależność między liczbą wierzchołków, ścian i krawędziami wielościanu.
Brzmi ono tak:
Liczba wierzchołków (K) plus liczba ścian (Ś) RÓWNA SIĘ liczbie krawędzi (K) plus dwa.
W + Ś = K + 2

gdzie
W — liczba wierzchołków
Ś — liczba ścian
K — liczba krawędzi


http://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Eulera_o_wielo%C5%9Bcianach

Każdy wielościan podlega temu prawu.


Poniżej wszystkie bryły platońskie wraz z ich wierzchołkami, krawędziami i ścianami. Wszystkie ich ściany są przystającymi wielokątami foremnymi i w każdym wierzchołku spotyka się taka sama liczba ścian.

http://pl.wikipedia.org/wiki/Wielo%C5%9Bcian_foremny


Bryły platońskie w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej.

Trójwymiarowa przestrzeń euklidesowa z wprowadzonym kartezjańskim układem współrzędnych


Taka przestrzeń (tzw. przestrzeń kartezjańska), jest wygodnym modelem przestrzeni euklidesowej
- pozwala zapisywać twierdzenia geometryczne i ich dowody jako działania na liczbach.
Zwykle mówiąc o przestrzeni euklidesowej ma się na myśli właśnie ten jej model.
http://pl.wikipedia.org/wiki/Przestrze%C5%84_euklidesowa

W geometrii euklidesowej w przestrzeni trójwymiarowej istnieje tylko pięć wielościanów foremnych (tzw. brył platońskich).
Tak prezentują się w przestrzeni trójwymiarowej (ze ścianami).



Kilkadziesiąt lat temu znaleziono na terenie Szkocji bryły wykonane z kamienia, które do złudzenia przypominają platońskie bryły. Ich wiek datuje się na co najmniej 3 tys. lat. Są więc starsze od Platona (428-348 p.n.e.) o co najmniej o 500 lat... Kamienne bryły znajdują się w "Ashmolean Museum", w Oxford w Anglii. Oto one:


Dwunastościan i dwudziestościan z brązu z czasów rzymskich, których przeznaczenie nie jest znane.

Źródło: http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/roman_dodecahedra.html

Obliczenia Buckminster Fullera
Buckminster Fuller wyliczył poszczególne pozycje z poniższej tabeli, ukazując w ten sposób  wewnętrzny związek między przedstawionymi figurami w niej figurami - głównie bryłami platońskimi.


Szablony pięciu brył są tutaj

* ilustracji widnieje czworościan wpisany w sześcian. Taki przykład wklejono do Wikipedii...

Link do źródeł ilustracji: http://pl.wikipedia.org/wiki/Dwunasto%C5%9Bcian_foremny

Share this topic on FacebookShare this topic on GoogleShare this topic on MagnoliaShare this topic on TwitterShare this topic on Google buzz 

Zapisane

Leszek
Administrator
Ekspert
*****
Płeć: Mężczyzna
Wiadomości: 1646


4357533

swietageometria.info swietageometria Leszko2012
Zobacz profil WWW Email
« Odpowiedz #6 : Sierpień 17, 2010, 20:55:16 »


Bryły platońskie  - stellacje, duale, inne przekształcenia



Stellacja, czyli rozgwieżdżanie

Pod pojęciem stożkowania (ang. stellation, w języku polskim używa się też czasem określenia "rozgwieżdżanie" lub "stellacja") należy rozumieć proces przedłużania ścian danego wielościanu aż do ich ponownego przecięcia. W wyniku stożkowania na bazie wyjściowego wielościanu powstają nowe wielościany, których ściany przecinając się, tworzą gwiaździstą strukturę. Pod pojęciem stożkowania można rozumieć również wielościan powstały w wyniku wspomnianego procesu.

Mówi się także o stellacji dwuwymiarowej, czyli rozgwieżdżaniu wielokątów na płaszczyźnie. Dwa poniższe przykłady - pięciokąta i sześciokąta foremnego obrazują ideę rozgwieżdżania wielokątów na płaszczyźnie poprzez przedłużanie ich boków.


Stellacja (przedłużanie boków) pięciokąta foremnego tworzy pentagram.



Stellacja (przedłużanie boków) sześciokąta foremnego tworzy heksagram.



Stellacje (stożkowania) brył platońskich

Brył platońskich jest pięć, ale w zależności od stopnia skomplikowania swojej budowy, mogą nie mieć wcale, mogą mieć kilka, kilka lub nawet kilkadziesiąt możliwych stożkowań.

Czworościan foremny i sześcian nie mają żadnych stożkowań. Przedłużanie ich ścian lub krawędzi nie daje nowych przecięć.


Stellacja ośmiościanu foremnego (rys. 1).
Trzy ściany otaczające daną ścianę po przedłużeniu utworzą nad nią czworościan foremny (rys. 2).


Rys. 1                              Rys. 2

Zastosowanie tego procesu do wszystkich ścian prowadzi do formy gwiaździstej ośmiościanu (rys. 3 i 4). Jest to stella octangula - znana kompozycja dwóch czworościanów foremnych (rys. 3 i 4). Sama nazwa stella octangula (gwiazda ośmioramienna) znana jest od czasów Keplera. Jednak bryłę tą znano już wcześniej. Po raz pierwszy opisał ją w 1509 roku w swoim dziele De divina proportione  (boska proporcja) Luca Pacioli, a jej pierwszy "portret" wyszedł spod ręki Leonarda da Vinci. Wtedy nazywano ją  octaedron elevatus  (ośmiościan dobudowany), gdyż można ją otrzymać także w wyniku doklejenia czworościanu foremnego do każdej ściany ośmiościanu foremnego.

Rys. 3                                              Rys. 4

Stellacja dwunastościanu foremnego (rys. 5). Pierwszy krok to zbudowanie piramid nad każdą ścianą tego wielościanu (rys. 6). W wyniku tego powstanie wielościan, którego ściany są pentagramami (rys. 7), będący jednym z wielościanów Keplera-Poinsota (to dwunastościan gwiaździsty mały).

Pierwszy krok to zbudowanie piramid nad każdą ścianą tego wielościanu (rys. 6). W wyniku tego powstanie wielościan, którego ściany są pentagramami (rys. 7), będący jednym z wielościanów Keplera-Poinsota (to dwunastościan gwiaździsty mały).


Rys. 5                            Rys. 6                          Rys. 7

Uzupełnienie pentagramów do pięciokątów foremnych prowadzi do kolejnego stożkowania dwunastościanu. Otrzymujemy kolejny wielościan Keplera-Poinsota - dwunastościan wielki (rys. 8 ). W ostatnim kroku możemy przedłużyć trzy ściany otaczające każde z trójściennych zagłębień (rys. 9). W wyniku tego otrzymamy ostatnią gwiaździstą formę dwunastościanu (rys. 10). Również i ten wielościan jest jednym z wielościanów Keplera-Poinsota (to dwunastościan gwiaździsty wielki).


Rys. 8                            Rys. 9                        Rys. 10

Do przedstawiania stożkowań używa się specjalnego diagramu, pokazującego efekt kolejnego przedłużania krawędzi zadanej ściany wyjściowego wielościanu. Diagram ten dla dwunastościanu foremnego wygląda tak, jak na rys. 11. Liczba 0 oznacza ścianę bryły wyjściowej, 1 to ściana dwunastościanu gwiaździstego małego, 2 - dwunastościanu wielkiego i wreszcie 3 - dwunastościanu gwiaździstego wielkiego.


Pozostał problem stożkowania ostatniego z wielościanów platońskich - dwudziestościanu foremnego  (rys. 12). Pierwszy krok można wykonać stosunkowo łatwo. Podobnie jak wcześniej nad każdą ze ścian powstanie ostrosłup. Kąt dwuścienny między ścianami dwudziestościanu ma stosunkowo dużą miarę (około 138,19°), więc ostrosłupy te będą dość płaskie. Ich ściany będą nachylone do podstawy pod kątem około 41,81° (dlaczego?). Cały wielościan gwiaździsty będzie składał się z 20 nieforemnych sześciokątów (rys. 13, 14).


Rys. 12                           Rys. 13                          Rys. 14

Przedłużenie tych ścian w odpowiedni sposób daje kolejną stellację dwudziestościanu (rys. 15). Tym razem ściany są układami dwóch trójkątów równobocznych (rys. 16), a cała bryła jest kompozycją 5 ośmiościanów foremnych (rys. 17).


Rys. 15                           Rys. 16                          Rys. 17

Źródło: http://www.matematyka.wroc.pl/book/co-to-jest-sto%C5%BCkowanie-2


Platońskie wielościany jako duale.


Wielościany foremne (platońskie) można pogrupować w dualne pary, z wyjątkiem czworościanu foremnego, który jest dualny sam ze sobą. Dualami są dla siebie sześcian i ośmiościan foremny oraz dwunastościan i dwudziestościan foremny.
Definicyjnie, wielościan foremny jest dualem dla innego wielościanu foremnego wtedy, gdy łącząc liniami prostymi środki ścian jednego wielościanu, otrzymamy wierzchołki drugiego wielościanu.
http://pl.wikipedia.org/wiki/Wielo%C5%9Bcian_dualny

 

Inne przekształcenia brył platońskich


Animacje wykonał Lucyfer z  tego forum na podstawie animacji
ze strony http://virtualmathmuseum.org/Polyhedra/index.html Dzięki! Uśmiech

Czworościan - sześcian - czworościan


Ośmiościan - sześcio-ośmiościan - ośmiościan


Sześcian - dwunastościan - sześcian


Ośmiościan - sześcio-ośmiościan - ośmiościan

Share this topic on FacebookShare this topic on GoogleShare this topic on MagnoliaShare this topic on TwitterShare this topic on Google buzz 

Zapisane

Leszek
Administrator
Ekspert
*****
Płeć: Mężczyzna
Wiadomości: 1646


4357533

swietageometria.info swietageometria Leszko2012
Zobacz profil WWW Email
« Odpowiedz #7 : Sierpień 17, 2010, 21:13:08 »



Symetria, stosunek i proporcja


 
Najogólniej symetria jest pewnym  geometrycznym odwzorowaniem punktu, prostej, płaszczyzny lub bryły.
Ograniczymy się tutaj jedynie do krótkiego zdefiniowania symetrii na płaszczyźnie, aby uchwycić ideę pojęcia symetrii.
Tak więc "istnieją dwa rodzaje symetrii (...) na płaszczyźnie: symetria względem prostej (symetria osiowa) i względem punktu (symetria środkowa). Prosta nazywana jest wtedy osią symetrii, a punkt środkiem symetrii.

Dwa punkty nazywamy symetrycznymi względem danej osi, jeżeli leżą na odcinku prostopadłym do osi i są od niej równo oddalone. (Jakby na zasadzie lustrzanego odbicia...)


Dwa punkty nazywamy symetrycznymi względem danego punktu, jako środka, jeżeli leżą na prostej, przechodzącej przez ten punkt i są jednakowo od niego oddalone.


Na podst:  Jan Zydler - Geometria: http://www.wiw.pl/matematyka/geometria/geometria_08_01.asp



Dla chętnych: Grupa symetrii: http://pl.wikipedia.org/wiki/Grupa_symetrii


Stosunek i proporcja

Jako, że słowo proporcja i stosunek często są mylone, wprowadźmy rozróżnienie między tymi pojęciami, gdyż oznaczają one nieco inne rzeczy. Nie musisz się w to wgryzać. Podajemy to dla formalnego porządku.

Najkrócej stosunek jest to odniesienie jednej wartości do drugiej,  a proporcja jest to odniesienie siebie dwóch stosunków.


Z Wikipedii: http://pl.wikipedia.org/wiki/Stosunek_%28matematyka%29

Stosunek - "odniesienie jednej wartości do drugiej. Zapisywany jest często w postaci zwykłego dzielenia lub ułamka.


Przykład.
Jeśli mamy trzy ciastka i cztery osoby, to mówimy, że trzy ciastka przypadają na cztery osoby i jest to stosunek 3:4. Stosunek jest częścią proporcji.


Proporcja jest to relacja między dwoma stosunkami. Cytuję (za Jan Zydler - Geometria) :

"Jeżeli stosunek dwóch liczb a i b jest równy stosunkowi dwóch innych liczb c i d, to możemy te dwa stosunki połączyć znakiem =, pisząc:
a : b = c : d
i powiedzieć, że dane cztery liczby tworzą proporcję.

Proporcja ta wyraża, że pierwsza z danych liczb jest tyle razy większa (względnie mniejsza) od drugiej, ile razy trzecia jest większa (względnie mniejsza) od czwartej. Tak np. cztery liczby: 15, 5, 12 i 4 tworzą proporcję:
15 : 5 = 12 : 4,
dlatego że stosunek 15 : 5 jest równy stosunkowi 12 : 4."


Proporcję możemy zapisać na dwa sposoby. Jeśli zapisujemy ją w postaci
a : b = c : d
to wyrazy  a i d nazywamy wyrazami skrajnymi,  b i c – wyrazami środkowymi.


Jeśli przedstawiamy proporcję w postaci ułamka, to wstawiamy po prostu liczby do licznika i mianownika.


Przykładowo, jeśli jeden bukiet kwiatów składa się z jednej białej i dwóch czerwonych róż, a drugi bukiet z dwóch białych i czterech czerwonych róż, to ilość kwiatów w tych bukietach zwiększa się proporcjonalnie. Mrugnięcie

 * * * * *

Tutaj możesz pobawić się w odgadywanie proporcji:
http://www.ixl.com/math/practice/grade-6-proportions

Zabawa jest prosta. Kliknij w powyższy link i na stronie docelowej wpisz w puste pole odpowiednią cyfrę, aby uzyskać proporcję. Następnie kliknij klawisz "Submit".


Jeśli podasz błędną odpowiedź program poda Ci właściwe rozwiązanie. Możesz wówczas poprosić go o wyjaśnienie dlaczego właściwa odpowiedź jest taka, jaką pokazuje program - kliknij wówczas klawisz "Explanation"

Share this topic on FacebookShare this topic on GoogleShare this topic on MagnoliaShare this topic on TwitterShare this topic on Google buzz 

« Ostatnia zmiana: Sierpień 17, 2010, 21:17:52 wysłane przez Leszek » Zapisane

Leszek
Administrator
Ekspert
*****
Płeć: Mężczyzna
Wiadomości: 1646


4357533

swietageometria.info swietageometria Leszko2012
Zobacz profil WWW Email
« Odpowiedz #8 : Sierpień 17, 2010, 21:32:16 »


Kwiat Życia

Na okładce pierwszego tomu Pradawna tajemnica kwiatu życia Drunvalo Melchizedeka czytamy:

"Dawniej wszystko, co istnieje we wszechświecie znało Kwiat Życia jako wzór stworzenia, wykres geometryczny wiodący do egzystencji fizycznej i wyprowadzający z tej egzystencji. (...) Sekret Kwiatu Życia przetrwał jednak tysiące lat wyryty na ścianach starożytnych budowli na całym świecie, wpisany w żywe komórki wszelkiego istnienia."
http://www.swietageometria.info/ksiazki-w-j-polskim

Nazywa się go kwiatem ponieważ reprezentuje on cykl wegetacji. W środku Kwiatu Życia znajduje się siedem połączonych ze sobą kół, zwanych ziarnem życia. Z ziarna powstaje kwiat, a kwiat rodzi owoc. Według Melchizedeka Kwiat Życia zawiera w sobie wszystkie formuły matematyki, każde prawo fizyki, harmonię muzyczną i każdą biologiczną formę życia, łącznie z ludzkim ciałem. Znajdziemy w nim także platońskie bryły, będące wzorcami dla wszystkich atomów, pierwiastków, poziomów, wymiarów, dla wszystkiego co istnieje we wszechświecie w formie fal.

Jako, że pojęcie Kwiatu Życia rozpowszechnił na świecie Drunvalo Melchizedek, przedstawimy poniżej jego geometryczne schematy opisujące jeżykiem abstrakcji 1) jak powstał wszechświat, 2) jak rysuje się ziarno, kwiat i owoc życia powstał oraz 3) w jaki sposób Kwiat Życia zawiera w sobie platońskie bryły - geometryczne wzorce stworzenia. Tylko w jednym miejscu pozwolę sobie zmodyfikować nieco wywód Melchizedeka - w miejscu dotyczącym sposobu rysowania dwunastościanu na siatce Kwiatu Życia.

 
Jak powstaje Kwiat Życia?

Zacznijmy od absolutnego początku Wink

Drunvalo Melchizedek pisze w "Pradawnej Tajemnicy Kwiatu Życia":
"Z punktu widzenia fizyki lub matematyki ruch sam w sobie, czy też energia kinetyczna, nie może pojawić się w próżni. Nie może nawet wirować, bowiem najmniejszy ruch potrzebuje przynajmniej jednego obiektu w przestrzeni oprócz was samych. Musi istnieć coś, wokół czego, czy też w stosunku do czego, można wykonać ruch. Jeśli taki obiekt nie istnieje, nie wiemy, że się ruszamy. Gdybyście unieśli się dziesięć metrów w górę, to skąd byście o tym wiedzieli? Nic by się nie zmieniło. Jeśli nic się nie zmienia, nie ma ruchu."

Na początku jest więc tylko duch. Nie ma nawet przestrzeni. Duch (jego graficznym symbolem jest punkt) stwarza najpierw przestrzeń, aby cokolwiek mogło się w niej potem objawić.

Komentarz: Drunvalo Melchizedek posługuje się w swoim opisie pojęciem "Duch". W tej samej stylistyce można mówić tutaj o "pierwotnej zasadzie stwórczej", "pierwszym poruszycielu" czy też "Wielkim Architekcie Wszechświata" który kreśli wszechświat...


Jeśli jednak chcesz spojrzeć na sprawę czysto matematycznie, bez nadawania liczbom i figurom jakichś dodatkowych znaczeń, to potraktuj poniższe obrazki jako symboliczne formy - wyraz matematyczno-geometrycznego podejścia do opisu wszechświata. Po prostu bierzesz cyrkiel, ekierkę, ołówek i rysujesz... Jak się jednak okaże określone formy geometryczne, jak choćby torus, spirala i czworościan będą leżały u podstaw konstrukcji świętych alfabetów, które sterują przepływem energii. Zobacz fragment wykładu Dana Wintera z Barcelony. Jeśli z różnych względów wyda Ci się on teraz nieco zawiły,  możesz powrócić do niego po jakimś czasie... Mrugnięcie

Teraz możemy już wyruszyć w stwórczą podróż.

"Duch" na początku tworzy sferę, i podziwia swoje dzieło Mrugnięcie



Następnie, gdy sfera jest gotowa (mamy już dwa miejsca - punkt wyjścia i powierzchnię sfery) Duch przemieszcza się na powierzchnię i tworzy drugą sferę - identyczną jak pierwsza.



Wraz z powstaniem drugiej sfery, powstaje kształt zwany Vesica Piscis, uważany za "łono wszechświata", z którego promieniuje światło. "I stała się światłość."... Co ciekawe można znaleźć wiele obrazków zawierających taką lub inną symbolikę, która wiąże się z kształtem Vesicy Piscis. Oto kilka z nich:

Mówiąc bardziej naukowo, kiedy połączymy ze sobą cztery punkty Vesicy (środki okręgów i miejsca przecięcia się okręgów, otrzymamy krzyż, który można uznać za podstawę światła, rozumianego jako całe spektrum fali elektromagnetycznej, gdyż oba składniki tej fali (elektryczny i magnetyczny) rozchodzą się przenikając się wzajemnie pod kątem 90 stopni. W życiu codziennym człowiek uznaje za światło tylko maleńki wycinek całego spektrum fali elektromagnetycznej. Czyni tak, ponieważ utożsamia światło z tym, co widzi jego oko.





Poniżej: spektrum (fali) promieniowania elektromagnetycznego.


"Poziomy" rzeczywistości odpowiadające poszczególnym częstotliwościom promieniowania elektromagnetycznego.

http://pl.wikipedia.org/wiki/Promieniowanie_elektromagnetyczne

Poniżej zamieszczam animację złotej spirali tworzącą Vesicę Piscis.

Zamieszczam ją ze względu na ładną wizję artystyczną. Czy tylko artystyczną? Mrugnięcie
<a href="http://www.youtube.com/watch?v=jXsKh1p6vIg" target="_blank">http://www.youtube.com/watch?v=jXsKh1p6vIg</a>
Stop-klatki i z powyższej animacji

Następnie duch porusza się według określonego wzoru - zawsze zmierza do punktu, który leży jak najbliżej środkowej sfery.
Nasz idzie w dół i tworzy trzecią sferę.
<- Tzw. "Tripod of Life"

Dwa komentarze:

1) W powyższe trzy sfery wpisałem trójkąt, aby zasygnalizować, że wraz z tworzenie kolejnych sfer umożliwia tworzenie kolejnych figur geometrycznych, które (w swych kształtach i proporcjach) zawierają określone kody informacyjne. Narysowany wyżej trójkąt równoboczny (czworościan foremny w 3D) zawiera w sobie np. informacje o proporcjach tworzących harmonię w muzyce. Zobacz Harmonia sfer (dźwięk): http://forum.swietageometria.info/index.php/topic,24.0.html

2) Tzw. "Tripod of Life" (Podstawa Życia?) przypomina do złudzenia stworzony przez naukowców "węzeł światła".

Po raz pierwszy naukowcom udało się zawiązać światło na supeł. Sukces ten jest osiągnięciem fizyków skupionych wokół Marka Dennisa z Bristol University. Nowe badanie jest fizycznym zastosowaniem teorii węzłów. Według naukowców promienie światła udało się zawiązać w węzeł, oddziałując na promieniowanie wyjściowe za pomocą specjalnie opracowanych hologramów.
Źródło: http://www.focus.pl/newsy/zobacz/publikacje/wezel-ze-swiatla/

Duch przesuwa się dalej i tworzy kolejne sfery wchodząc tym samym w ruch wirowy.


Gdy zatacza pierwszy pełny obrót 360 stopni, rysuje łącznie siedem sfer -  tyle ile dni trwa opisane w Biblii stwarzanie świata. Te sześć sfer opisanych na jednej środkowej sferze tworzy pierwszy statyczny kształt nazwany Wzorcem Genesis czy też Ziarnem Życia. Poniżej Ziarno Życia w kolorze oraz w... izraelskim muzeum i duńskim kościele.

Źródło: http://www.floweroflife.org/folindia.htm

Rysunki Leonarda da Vinci z książki  L. Reti (Ed.), The Unknown Leonardo, McGraw-Hill Book Company, Toronto (1974).

Inne rysunki: http://home.cc.umanitoba.ca/~gunderso/pages/da_vinci_models/da_vinci_drawings.htm

Według Melchizedeka trójwymiarowy Wzorzec Genesis puszczony w ruch wirowy tworzy w wyniku rotacji wokół swej centralnej osi torus, przypominający pączek z dziurką w środku. Na poniższym obrazku nałożono na siebie dwa Wzorce Genesis. Jeden pozostał w miejscu, a drugi obrócono o 30 stopni wokół sfery środkowej, aby ukazać jego ruch. Warto może nadmienić, że jeden obrót Wzorca o 30 stopni tworzy 12 nakładających się na siebie sfer wokół jednej sfery centralnej.


Rysunek torusa zawiera w środku statyczną sferę swój pierwotny wzorzec wyjściowy.


Modele torusów najczęściej posiadają taki kształt jak poniżej. Ten ukazuje dodatkowo sposób przepływu energii.


Duch może wędrować wokół sfery wyjściowej w nieskończoność, rysując (od punktu do punktu) kolejne sfery i zakreślając nimi coraz większą przestrzeń. W interpretacji Melchizedeka wędrówka ducha kończy się po pięciu pełnych obrotach ducha wokół pierwotnej sfery wyjściowej. Dopiero wówczas bowiem duch tworzy matrycę, dzięki której można zbudować

Tak więc duch dokonuje drugiego pełnego obrotu wokół sfery centralnej, tworząc sześć kolejnych sfer w punktach leżących najbliżej sfery centralnej.


Teraz możliwe jest powstanie tzw. Jajo Życia, czyli ośmiu pierwszych komórek zwanych macierzystymi - kształt embrionalny żywego organizmu. Jajo Życia widać wyraźnie, gdy pokażemy powyższy obrazek w trzech wymiarach  - po lewej.  Po prawej stronie zdjęcie ludzkiego embrionu ośmiokomórkowego.


Duch dokonuje trzeciego pełnego obrotu i tworzy kształt podobny do kształtu zwanego w świętej geometrii Kwiatem Życia. Piszę podobny, ponieważ oryginalny symbol Kwiatu Życia zawiera w sobie zaczątki dodatkowych niedomkniętych kół i całość otoczona jest przez dwa koła koncentryczne (poniższy rysunek po prawej).


Sfery tworzone przez trzeci pełny obrót są na obrazku przyciemnione dla lepszej widoczności.
Na obrazku poniżej występuje pewna geometryczna prawidłowość. Otóż w okręgu o dowolnej wielkości mieści się zawsze siedem idealnie dopasowanych do siebie mniejszych okręgów.


W starożytności symbol Kwiatu Życia można było spotkać w różnych miejscach na całym świecie, a niektóre z nich zachowały się do dzisiaj. Poniżej przykłady


Kwiat Życia  wypalony na ścianie filaru świątyni Ozyrysa w Abydos (Egipt)


Fragment wykładu Przekroczyć Horyzont Zdarzeń część 3.0 (50-54 min)
dotyczący świątyni Ozyrysa i znajdującego się w tej świątyni Kwiatu Życia.
<a href="http://www.youtube.com/watch?v=FsrBV_IvqgI" target="_blank">http://www.youtube.com/watch?v=FsrBV_IvqgI</a>
Cały wykład 3.0 jest TUTAJ: http://forum.swietageometria.info/index.php/topic,32.0.html

Drunvalo Melchizedek zastanawiał się dlaczego symbol Kwiatu Życia zawiera w sobie niedokończone koła otoczone dwoma zewnętrznymi kołami koncentrycznymi. Oczywiście można uznać to za kwestię estetyczną.. Jednak Melchizedek uznał to za zabieg celowy, skrywający jakąś tajemnicę. Wytłumaczył ją następująco. Otóż w oryginalnym symbolu Kwiatu Życia mamy dwa rzędy niedokończonych kół. Jeśli dokończymy te koła, to uzyskamy pełny wzór Kwiatu Życia, zawierający w sobie dziewiętnaście kół z czego trzynaście (lub dwanaście kół wokół jednego centralnego...) składa się na całość zwaną Owocem Życia.

Owoc Życia oznaczony jest na obrazku kolorem niebieskim.


Wzór Owocu Życia Melchizedek nazywa "jedną z najświętszych, najbardziej uświęconych form, jakie istnieją na Ziemi", albowiem  z jego treści "powstało wszystko, co istnieje w Rzeczywistości." Oto i on:


Według Melchizedeka Jajo Życia, torus i Owoc Życia stanowią "podstawę stworzenia wszystkiego co istnieje, bez wyjątku".

[EDIT]: RESUME
<a href="http://www.youtube.com/watch?v=PYvKX5z2XfI" target="_blank">http://www.youtube.com/watch?v=PYvKX5z2XfI</a>

W następnym poście pokażemy w jaki sposób owoc życia powiązany jest z tzw. Sześcianem Metatrona i platońskimi bryłami.

Share this topic on FacebookShare this topic on GoogleShare this topic on MagnoliaShare this topic on TwitterShare this topic on Google buzz 

« Ostatnia zmiana: Grudzień 21, 2013, 15:29:02 wysłane przez Leszek » Zapisane

Strony: 1 2 3 4 5 »   Do góry
  Drukuj  
 
Skocz do:  

Powered by SMF 1.1.21 | SMF © 2006-2009, Simple Machines
BlueSkies design by Bloc | XHTML | CSS