logo
 
Witamy, Gość. Zaloguj się lub zarejestruj.

Zaloguj się podając nazwę użytkownika, hasło i długość sesji

Autor Wątek: 3. Podstawowe pojęcia  (Przeczytany 60990 razy)

0 użytkowników i 1 Gość przegląda ten wątek.

Offline Leszek

  • Administrator
  • Ekspert
  • *****
  • Wiadomości: 1759
    • Status GG
    • Zobacz profil
    • swietageometria.info
    • Email
3. Podstawowe pojęcia
« dnia: Sierpień 14, 2010, 14:09:47 »
W pierwszych 14 postach tego wątku znajduje się kopia tematów ze strony WWW: http://www.swietageometria.info/podstawowe-pojecia - EDIT: na stronie WWW podstawowe pojęcia są aktualizowane

Święta geometria opisuje świat swoim językiem. Poniżej wyróżniono kilkanaście pojęć którymi się ona dziś posługuje. Pojawią się one w różnych kontekstach, kiedy będziemy opisywać człowieka i jego związki ze światem i wszechświatem. Możesz się z nimi zapoznać, ale nie musisz. Jeśli zajdzie potrzeba, zawsze możesz tutaj wrócić. Niemniej polecam punkty o bryłach platońskich, złotej proporcji i fraktalach... Wink  A jeśli lubisz oglądać obrazki, to będziesz miał(a) tutaj na co zerknąć... Tematy zilustrowane są bowiem obficie. W kilku przypadkach także krótkimi filmikami, a w jednym filmem o zastosowaniu fraktali w naszym codziennym życiu. Życzę ciekawej lektury.

Poniżej - spis treści pierwszych 14 tematów tego wątku

   1. Punkt, linia, krzywa, płaszczyzna i brył - wymiary
   2. Jeszcze o wymiarach
   3. Wielokąty foremne i bryły platońskie
   4. Bryły platońskie - stellacje, duale, inne przekształcenia
   5. Symetria, stosunek i proporcja
   6. Kwiat życia
   7. Sześcian Metatrona
   8. Gwiezdna Matka
   9. Złoty podział
  10. Złoty prostokąt, złoty trójkąt i pentagram
  11. Złota spirala, spirala i ciąg Fibonacciego
  12. Sześcio-ośmiościan i "jitterbug" Buckminster Fullera
  13. Torus i... alfabet.
  14. Fraktal
« Ostatnia zmiana: Wrzesień 10, 2011, 21:40:25 wysłana przez Leszek »

Offline Leszek

  • Administrator
  • Ekspert
  • *****
  • Wiadomości: 1759
    • Status GG
    • Zobacz profil
    • swietageometria.info
    • Email
Punkt, linia, krzywa, płaszczyzna i bryła - wymiary
« Odpowiedź #1 dnia: Sierpień 17, 2010, 20:40:44 »
Punkt, linia, krzywa, płaszczyzna i bryła - wymiary

1. Przedmioty, czyli ciała materialne, które nas otaczają bądź to w pokoju, bądź na ulicach miasta, odznaczają się najróżnorodniejszymi cechami, wszystkie one mają jednak jedną cechę wspólną - zwaną rozciągłością - mianowicie, każde z nich zajmuje pewną część przestrzeni. Tę właśnie część przestrzeni, którą zajmuje przedmiot, nazywamy bryłą geometryczną. Rozróżniamy trzy wymiary bryły: długość, szerokość i wysokość. Widzimy je bez trudu w pokoju, łatwo spostrzegamy wymiary pudełka, skrzyni itp. Wysokość nazywamy niekiedy głębokością, np. głębokość studni; zamiast o szerokości mówimy o grubości muru.

2. Bryła jest oddzielona od innej bryły lub od otaczającej je przestrzeni powierzchniami. Sala, w której się znajdujemy, jest oddzielona od pozostałej części gmachu czterema ścianami, posadzką i sufitem. Budynek szkolny jest oddzielony, tj. ograniczony od otaczającej go przestrzeni, powierzchniami ścian zewnętrznych, powierzchnią ziemi oraz dachu.

3. Powierzchnia ma dwa wymiary: długość i szerokość.

4. Linia ma tylko jeden wymiar - długość.

5. Bryły, powierzchnie, linie i punkty, nazywane są figurami geometrycznymi.

Punkt poruszający się w przestrzeni kreśli linię, np. obserwując niebo w pogodną noc sierpniową, widzimy często srebrnoświetlne linie powstałe przez spadające gwiazdy.

Linia, kiedy porusza się w przestrzeni, zakreśla powierzchnię, np. koło szybko biegnącego wozu robi wrażenie pokrytego powierzchnią, powstałą przez ruch szprych kołowych.

Wreszcie przez ciągły ruch powierzchni możemy otrzymać ciało geometryczne, czyli bryłę. Rozżarzona do czerwoności blacha żelazna, spadając w ciemności z góry na dół, daje wyobrażenie ciała geometrycznego w postaci czerwonego słupa.

Można więc powiedzieć, że istnieje jeden zasadniczy twór geometryczny, mianowicie punkt (bezwymiarowy), przez ruch którego powstaje twór jednowymiarowy - zwany linią, przez ruch linii powstaje twór dwuwymiarowy - powierzchnia, wreszcie przez ruch powierzchni twór trójwymiarowy zwany bryłą. (...)

Jakkolwiek powierzchni nie możemy w rzeczywistości oderwać od bryły, linii od powierzchni, a punktu od linii, to jednak dla dokładniejszego zbadania ich własności można potraktować je w geometrii niezależnie od podstawowej figury geometrycznej, do której należą.

Opracowano na podstawie: Jan Zydler: Geometria
http://www.wiw.pl/matematyka/geometria/geometria_01_01.asp

Zobacz co o tych podstawowych wymiarach mówi Nassim Haramein.
Jest to fragment wykładu Przekroczyć Horyzont Zdarzeń część 1.0 (3:40 - 9:40 min)
<a href="http://www.youtube.com/watch?v=tybhFLRak08" target="_blank">http://www.youtube.com/watch?v=tybhFLRak08</a>

Zobacz też krótki fragment wykładu Chucka Misslera pt.
"Return Of The Nephilim" dotyczący m.in. pojęcia hiperprzestrzeni.
<a href="http://www.youtube.com/watch?v=u8Qg82psyK0" target="_blank">http://www.youtube.com/watch?v=u8Qg82psyK0</a>
Cały film do obejrzenia na kanale You Tube - STARSHIELDER
http://www.youtube.com/user/starshielder#g/c/27A0330A51F80DDE



Jeśli masz niedosyt, to zobacz
Czym jest pentagram w czterech wymiarach?
<a href="http://www.youtube.com/watch?v=GouZ1vCPp0o" target="_blank">http://www.youtube.com/watch?v=GouZ1vCPp0o</a>
Jest to fragment wystąpienia Vincenta Bridgesa
na konferencji "Stars & Stones" w Suffolk (UK) z kwietnia 2009r.
« Ostatnia zmiana: Sierpień 20, 2010, 08:38:05 wysłana przez Leszek »

Offline Leszek

  • Administrator
  • Ekspert
  • *****
  • Wiadomości: 1759
    • Status GG
    • Zobacz profil
    • swietageometria.info
    • Email
Podstawowe pojęcia - Jeszcze o wymiarach
« Odpowiedź #2 dnia: Sierpień 17, 2010, 20:46:32 »
Jeszcze o wymiarach

O podstawowych wymiarach była mowa w pierwszym i będzie mowa w ostatnim  podpunkcie tego działu, gdzie najdziesz film o fraktalach jako "ukrytym wymiarze" rzeczywistości. W tym miejscu  pojęcie wymiaru zostanie potraktowane bardzo obrazowo, bez wgłębiania się w zawiłe teorie na temat wymiarów. Każdy chętny z pewnością znajdzie coś na ten temat choćby w internecie. Zacznę więc od razu od informacji o filmie animowanym pt. "Flatland" (Płaskolandia). Film ten doczekał się pozytywnej recenzji ze strony Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego, które poleca go do obejrzenia zarówno dzieciom jak dorosłym, a jego bohaterami są... figury geometryczne.


Film przedstawia świat, który ma tylko dwa wymiary. Żyją w nim trójkąty, kwadraty, pięciokąty i inne figury. Nie ma w nim żadnej wysokości. Jest tylko długość i szerokość...

Zamieszczam poniżej filmik streszczający ideę filmu Flatland oraz dwa krótkie fragmenty o wymiarach z filmu Flatland.

 

Dr Quantum - Wizyta w Paskolandii [PL]
Ludzie żyją w trzech wymiarach (3D)... A może jest więcej wymiarów, tylko większość z nas
zachowuje się jak ów mały "płaszczak" żyjący w rzeczywistości dwuwymiarowej?
Dr Quantum - Wizyta w Paskolandi PL

Dwa fragmenty z animowanego filmu Flatland, obrazujące różnice między wymiarami.
W Płaskolandii pojawia się kula ze świata trójwymiarowego, aby zaświadczyć o istnieniu innego wymiaru,
którego mieszkańcy Płaskolandii nie znają, ale który czasem im się śni....
<a href="http://www.youtube.com/v/O0VrI3ArQ98?fs=1" target="_blank" class="new_win">http://www.youtube.com/v/O0VrI3ArQ98?fs=1</a>

A-Kwadrat (mieszkaniec Płaskolandii) zostaje zabrany do świata,
którego nigdy dotąd nie widział - do świata trzech wymiarów...
<a href="http://www.youtube.com/v/5XwNvuGqLIQ?fs=1" target="_blank" class="new_win">http://www.youtube.com/v/5XwNvuGqLIQ?fs=1</a>
Cały film znajdziesz tutaj:
http://www.youtube.com/user/Wyspa333

Książka, na podstawie której opracowano scenariusz filmu.

http://press.princeton.edu/titles/4774.html

Książeczka w wersji on-line (w j. angielskim)
"Flatland: A Romance of Many Dimensions
With Illustrations by the Author, A SQUARE"
http://www.ibiblio.org/eldritch/eaa/FL.HTM

« Ostatnia zmiana: Sierpień 17, 2010, 20:58:33 wysłana przez Leszek »

Offline Leszek

  • Administrator
  • Ekspert
  • *****
  • Wiadomości: 1759
    • Status GG
    • Zobacz profil
    • swietageometria.info
    • Email
Podstawowe pojęcia - Jeszcze o wymiarach c.d
« Odpowiedź #3 dnia: Sierpień 17, 2010, 20:58:06 »

Jeszcze o wymiarach c.d


Świat dwuwymiarowy i trójwymiarowy w obrazach


Kula w dwóch i trzech wymiarach
« Ostatnia zmiana: Sierpień 17, 2010, 21:19:51 wysłana przez Leszek »

Offline Leszek

  • Administrator
  • Ekspert
  • *****
  • Wiadomości: 1759
    • Status GG
    • Zobacz profil
    • swietageometria.info
    • Email
Podstawowe pojęcia - Jeszcze o wymiarach c.d.2
« Odpowiedź #4 dnia: Sierpień 17, 2010, 21:12:50 »

Jeszcze o wymiarach c.d.2


Świat dwuwymiarowy, trójwymiarowy oraz... cienie świata czterowymiarowego w "naszych" trzech wymiarach.

Cień (rzut) trójwymiarowego sześcianu na płaszczyźnie (statyczny i dynamiczny)

Cień (rzut) zwijanego trójwymiarowego sześcianu na płaszczyźnie (statyczny i dynamiczny)



Cień (rzut) czterowymiarowego sześcianu (hipersześcianu) w trzech wymiarach (statyczny i dynamiczny)

Tu można obracać powyższy hipersześcian klatka po klatce:
http://www.math.union.edu/~dpvc/Math/4D/rotation/HCube-Rotation/HCube-Rotation.html

Cień (rzut) zwijanego czterowymiarowego sześcianu (hipersześcianu) w trzech wymiarach (statyczny i dynamiczny)


Linki:
http://www.math.union.edu/~dpvc/Math/4D/rotation/welcome.html
http://www.math.union.edu/~dpvc/Math/4D/folding/welcome.html

Link zbiorczy: http://www.math.union.edu/~dpvc/Math/4D/welcome.html



Salvador Dali: Ukrzyżowanie (Corpus Hypercubus)


Hipersześcian w filmie Cube 2

O filmie.

"W sześcianach budzą się przerażone osoby. Nie pamiętają, jak się tu znalazły. Jest ich ósemka, w końcu spotykają się w jednym pomieszczeniu. Są wśród nich: starszy mężczyzna – pułkownik Maguire, inżynier elektryk Jerry, psychoterapeutka Kate, niewidoma nastolatka Sasza, projektant gier komputerowych Max,, prawniczka Julia i emerytka pani Paley. Chcą wydostać się z matni, wędrują wiec od sześcianu do sześcianu, starając się uniknąć pułapek. Nie pomaga numerowanie włazów – zawsze trafiają do trzech, tych samych sal. Niebawem okazuje się, że znajdują się w teserakcie – hipersześcianie, który istnieje w czterech wymiarach, do tej pory funkcjonujący tylko w teorii. Dodatkowym wymiarem jest Czas, upływający jednak w sposób przeczący znanym prawom fizyki. Rzeczywistość i czas są subiektywne, zaś przestrzeń nie ograniczona. Należy znaleźć odpowiedni moment zbiegnięcia się czterech płaszczyzn, by wydostać się z pułapki…"
http://www.stopklatka.pl/wydarzenia/wydarzenie.asp?wi=20638

« Ostatnia zmiana: Sierpień 17, 2010, 21:18:02 wysłana przez Leszek »

Offline Leszek

  • Administrator
  • Ekspert
  • *****
  • Wiadomości: 1759
    • Status GG
    • Zobacz profil
    • swietageometria.info
    • Email
Podstawowe pojęcia - Wielokąty i bryły platońskie
« Odpowiedź #5 dnia: Sierpień 17, 2010, 21:36:25 »

Wielokąty i bryły platońskie

Bryły platońskie składają się z powierzchni ograniczonych liniami prostymi. Powierzchnie te w przypadku brył platońskich nazywamy wielokątami foremnymi. Przytoczmy ich definicje.

Wielokąt to spójny obszar powierzchni dwuwymiarowej, ograniczony przez zamkniętą krzywą złożoną z co najmniej trzech punktów (wierzchołków wielokąta) połączonych odcinkami (bokami wielokąta).

Wielokąt foremny - to wielokąt, który ma wszystkie kąty wewnętrzne równe i wszystkie boki równej długości. Wszystkie wielokąty foremne są figurami wypukłymi. Wielokątem foremnym o najmniejszej możliwej liczbie boków (3) jest trójkąt równoboczny.
http://pl.wikipedia.org/wiki/Wielok%C4%85t_foremny

Chciałbym wymienić tu trzy wielokąty foremne: trójkąt, kwadrat i pięciokąt, gdyż to właśnie  z nich zbudowane (złożone) są wielościany foremne, czyli tzw. bryły platońskie będące wyczerpującym zestawem wielościanów foremnych (wyczerpującym, bo  istnieje tylko pięć wielościanów foremnych). Wielościany foremne to bryły, których wszystkie ściany są przystającymi wielokątami foremnymi i w których z każdego wierzchołka wychodzi tyle samo krawędzi.


Pojedynczy wielokąt (trójkąt równoboczny) daje się złożyć w wielościan - czworościan foremny.
Inne wielościany tworzymy poprzez dodawanie do siebie kolejnych wielokątnych ścian.


Tak więc z trójkątów równobocznych złożyć można trzy bryły idealne - tetraedr (czworościan foremny), oktaedr (ośmiościan foremny), ikosaedr (dwudziestościan foremny). Z kwadratów można złożyć heksaedr (sześcian). Istnieje wreszcie piąta bryła foremna - dodekaedr, zbudowana z 12 pięciokątów regularnych, którą Platon uznał za zespolenie całości, bryłę łączącą wszystkie elementy.
Dla Platona bryły te miały zasadnicze znaczenie, uznawał bowiem, że materia zbudowana jest z całostek i nie jest podzielna, a całostki te mają charakter idealny. Nie są bowiem ciałami stałymi, lecz figurami geometrycznymi. Idealną najprostszą figurą geometryczną jest trójkąt, czyli płaszczyzna ograniczona najmniejszą liczbą linii prostych. Według Platona trójkąty są najprostszym elementem budulcowym, podstawową cegiełką, z której zbudowany jest Kosmos. Platon uznał, że cała rzeczywistość jest zorganizowana jako odbicie owych podstawowych figur geometrycznych, jako form najdoskonalszych.

Na podstawie: http://www.math.edu.pl/bryly-platonskie

Więcej o wielościanach foremnych:
http://www.wiw.pl/matematyka/geometria/geometria_13_05.asp


Bryły platońskie nieco artystycznie.

Dwunastościan na obrazie "Ostatnia wieczerza" Salvadora Dali.

Źródło: http://www.ellensplace.net/dali.html


Bryły platońskie (ze ścianami i bez ścian) narysowane przez Leonarda Da Vinci do książki Luca Pacioli pt. Boska Proporcja (1509r)

Dwunastościan i dwudziestościan

Czworościan

Poniżej: studium fontanny Loenarda Da Vinci
(w środku m.in. czworościan wpisany w sześcian) Leonardo Da Vinci - Sześciany


Źródło: http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/leonardo.html


Wielościany i twierdzenie Eulera
Warto przypomnieć, że każda struktura w przestrzeni trójwymiarowej składa się z trzech podstawowych elementów: wierzchołków, krawędzi i ścian. Leżą one u podstaw każdej geometrycznej analizy i przy ich pomocy można opisać dowolny wielościan.  Osiemnastowieczny matematyk Leonard Euler pozostawił po sobie twierdzenie o wielościanach wypukłych opisujące zależność między liczbą wierzchołków, ścian i krawędziami wielościanu.
Brzmi ono tak:
Liczba wierzchołków (K) plus liczba ścian (Ś) RÓWNA SIĘ liczbie krawędzi (K) plus dwa.
W + Ś = K + 2

gdzie
W — liczba wierzchołków
Ś — liczba ścian
K — liczba krawędzi


http://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Eulera_o_wielo%C5%9Bcianach

Każdy wielościan podlega temu prawu.


Poniżej wszystkie bryły platońskie wraz z ich wierzchołkami, krawędziami i ścianami. Wszystkie ich ściany są przystającymi wielokątami foremnymi i w każdym wierzchołku spotyka się taka sama liczba ścian.

http://pl.wikipedia.org/wiki/Wielo%C5%9Bcian_foremny


Bryły platońskie w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej.

Trójwymiarowa przestrzeń euklidesowa z wprowadzonym kartezjańskim układem współrzędnych


Taka przestrzeń (tzw. przestrzeń kartezjańska), jest wygodnym modelem przestrzeni euklidesowej
- pozwala zapisywać twierdzenia geometryczne i ich dowody jako działania na liczbach.
Zwykle mówiąc o przestrzeni euklidesowej ma się na myśli właśnie ten jej model.
http://pl.wikipedia.org/wiki/Przestrze%C5%84_euklidesowa

W geometrii euklidesowej w przestrzeni trójwymiarowej istnieje tylko pięć wielościanów foremnych (tzw. brył platońskich).
Tak prezentują się w przestrzeni trójwymiarowej (ze ścianami).



Kilkadziesiąt lat temu znaleziono na terenie Szkocji bryły wykonane z kamienia, które do złudzenia przypominają platońskie bryły. Ich wiek datuje się na co najmniej 3 tys. lat. Są więc starsze od Platona (428-348 p.n.e.) o co najmniej o 500 lat... Kamienne bryły znajdują się w "Ashmolean Museum", w Oxford w Anglii. Oto one:


Dwunastościan i dwudziestościan z brązu z czasów rzymskich, których przeznaczenie nie jest znane.

Źródło: http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/roman_dodecahedra.html

Obliczenia Buckminster Fullera
Buckminster Fuller wyliczył poszczególne pozycje z poniższej tabeli, ukazując w ten sposób  wewnętrzny związek między przedstawionymi figurami w niej figurami - głównie bryłami platońskimi.
http://www.swietageometria.info/images/stories/Leszek/WielokatyiBryly/17%20%20Bucky%20Fuller%20wyliczenia.gif
3. Podstawowe pojęcia


Szablony pięciu brył są tutaj

* ilustracji widnieje czworościan wpisany w sześcian. Taki przykład wklejono do Wikipedii...

Link do źródeł ilustracji: http://pl.wikipedia.org/wiki/Dwunasto%C5%9Bcian_foremny

Offline Leszek

  • Administrator
  • Ekspert
  • *****
  • Wiadomości: 1759
    • Status GG
    • Zobacz profil
    • swietageometria.info
    • Email
Odp: Bryły platońskie - stellacje, duale, inne przekształcenia
« Odpowiedź #6 dnia: Sierpień 17, 2010, 21:55:16 »
Bryły platońskie  - stellacje, duale, inne przekształcenia



Stellacja, czyli rozgwieżdżanie

Pod pojęciem stożkowania (ang. stellation, w języku polskim używa się też czasem określenia "rozgwieżdżanie" lub "stellacja") należy rozumieć proces przedłużania ścian danego wielościanu aż do ich ponownego przecięcia. W wyniku stożkowania na bazie wyjściowego wielościanu powstają nowe wielościany, których ściany przecinając się, tworzą gwiaździstą strukturę. Pod pojęciem stożkowania można rozumieć również wielościan powstały w wyniku wspomnianego procesu.

Mówi się także o stellacji dwuwymiarowej, czyli rozgwieżdżaniu wielokątów na płaszczyźnie. Dwa poniższe przykłady - pięciokąta i sześciokąta foremnego obrazują ideę rozgwieżdżania wielokątów na płaszczyźnie poprzez przedłużanie ich boków.


Stellacja (przedłużanie boków) pięciokąta foremnego tworzy pentagram.



Stellacja (przedłużanie boków) sześciokąta foremnego tworzy heksagram.



Stellacje (stożkowania) brył platońskich

Brył platońskich jest pięć, ale w zależności od stopnia skomplikowania swojej budowy, mogą nie mieć wcale, mogą mieć kilka, kilka lub nawet kilkadziesiąt możliwych stożkowań.

Czworościan foremny i sześcian nie mają żadnych stożkowań. Przedłużanie ich ścian lub krawędzi nie daje nowych przecięć.


Stellacja ośmiościanu foremnego (rys. 1).
Trzy ściany otaczające daną ścianę po przedłużeniu utworzą nad nią czworościan foremny (rys. 2).


Rys. 1                              Rys. 2

Zastosowanie tego procesu do wszystkich ścian prowadzi do formy gwiaździstej ośmiościanu (rys. 3 i 4). Jest to stella octangula - znana kompozycja dwóch czworościanów foremnych (rys. 3 i 4). Sama nazwa stella octangula (gwiazda ośmioramienna) znana jest od czasów Keplera. Jednak bryłę tą znano już wcześniej. Po raz pierwszy opisał ją w 1509 roku w swoim dziele De divina proportione  (boska proporcja) Luca Pacioli, a jej pierwszy "portret" wyszedł spod ręki Leonarda da Vinci. Wtedy nazywano ją  octaedron elevatus  (ośmiościan dobudowany), gdyż można ją otrzymać także w wyniku doklejenia czworościanu foremnego do każdej ściany ośmiościanu foremnego.

Rys. 3                                              Rys. 4

Stellacja dwunastościanu foremnego (rys. 5). Pierwszy krok to zbudowanie piramid nad każdą ścianą tego wielościanu (rys. 6). W wyniku tego powstanie wielościan, którego ściany są pentagramami (rys. 7), będący jednym z wielościanów Keplera-Poinsota (to dwunastościan gwiaździsty mały).

Pierwszy krok to zbudowanie piramid nad każdą ścianą tego wielościanu (rys. 6). W wyniku tego powstanie wielościan, którego ściany są pentagramami (rys. 7), będący jednym z wielościanów Keplera-Poinsota (to dwunastościan gwiaździsty mały).


Rys. 5                            Rys. 6                          Rys. 7

Uzupełnienie pentagramów do pięciokątów foremnych prowadzi do kolejnego stożkowania dwunastościanu. Otrzymujemy kolejny wielościan Keplera-Poinsota - dwunastościan wielki (rys. 8 ). W ostatnim kroku możemy przedłużyć trzy ściany otaczające każde z trójściennych zagłębień (rys. 9). W wyniku tego otrzymamy ostatnią gwiaździstą formę dwunastościanu (rys. 10). Również i ten wielościan jest jednym z wielościanów Keplera-Poinsota (to dwunastościan gwiaździsty wielki).


Rys. 8                            Rys. 9                        Rys. 10

Do przedstawiania stożkowań używa się specjalnego diagramu, pokazującego efekt kolejnego przedłużania krawędzi zadanej ściany wyjściowego wielościanu. Diagram ten dla dwunastościanu foremnego wygląda tak, jak na rys. 11. Liczba 0 oznacza ścianę bryły wyjściowej, 1 to ściana dwunastościanu gwiaździstego małego, 2 - dwunastościanu wielkiego i wreszcie 3 - dwunastościanu gwiaździstego wielkiego.


Pozostał problem stożkowania ostatniego z wielościanów platońskich - dwudziestościanu foremnego  (rys. 12). Pierwszy krok można wykonać stosunkowo łatwo. Podobnie jak wcześniej nad każdą ze ścian powstanie ostrosłup. Kąt dwuścienny między ścianami dwudziestościanu ma stosunkowo dużą miarę (około 138,19°), więc ostrosłupy te będą dość płaskie. Ich ściany będą nachylone do podstawy pod kątem około 41,81° (dlaczego?). Cały wielościan gwiaździsty będzie składał się z 20 nieforemnych sześciokątów (rys. 13, 14).


Rys. 12                           Rys. 13                          Rys. 14

Przedłużenie tych ścian w odpowiedni sposób daje kolejną stellację dwudziestościanu (rys. 15). Tym razem ściany są układami dwóch trójkątów równobocznych (rys. 16), a cała bryła jest kompozycją 5 ośmiościanów foremnych (rys. 17).


Rys. 15                           Rys. 16                          Rys. 17

Źródło: http://www.matematyka.wroc.pl/book/co-to-jest-sto%C5%BCkowanie-2


Platońskie wielościany jako duale.


Wielościany foremne (platońskie) można pogrupować w dualne pary, z wyjątkiem czworościanu foremnego, który jest dualny sam ze sobą. Dualami są dla siebie sześcian i ośmiościan foremny oraz dwunastościan i dwudziestościan foremny.
Definicyjnie, wielościan foremny jest dualem dla innego wielościanu foremnego wtedy, gdy łącząc liniami prostymi środki ścian jednego wielościanu, otrzymamy wierzchołki drugiego wielościanu.
http://pl.wikipedia.org/wiki/Wielo%C5%9Bcian_dualny

 

Inne przekształcenia brył platońskich


Animacje wykonał Lucyfer z  tego forum na podstawie animacji
ze strony http://virtualmathmuseum.org/Polyhedra/index.html Dzięki! :)

Czworościan - sześcian - czworościan


Ośmiościan - sześcio-ośmiościan - ośmiościan


Sześcian - dwunastościan - sześcian


Ośmiościan - sześcio-ośmiościan - ośmiościan

Offline Leszek

  • Administrator
  • Ekspert
  • *****
  • Wiadomości: 1759
    • Status GG
    • Zobacz profil
    • swietageometria.info
    • Email
Podstawowe pojęcia - Symetria, stosunek i proporcja
« Odpowiedź #7 dnia: Sierpień 17, 2010, 22:13:08 »

Symetria, stosunek i proporcja


 
Najogólniej symetria jest pewnym  geometrycznym odwzorowaniem punktu, prostej, płaszczyzny lub bryły.
Ograniczymy się tutaj jedynie do krótkiego zdefiniowania symetrii na płaszczyźnie, aby uchwycić ideę pojęcia symetrii.
Tak więc "istnieją dwa rodzaje symetrii (...) na płaszczyźnie: symetria względem prostej (symetria osiowa) i względem punktu (symetria środkowa). Prosta nazywana jest wtedy osią symetrii, a punkt środkiem symetrii.

Dwa punkty nazywamy symetrycznymi względem danej osi, jeżeli leżą na odcinku prostopadłym do osi i są od niej równo oddalone. (Jakby na zasadzie lustrzanego odbicia...)


Dwa punkty nazywamy symetrycznymi względem danego punktu, jako środka, jeżeli leżą na prostej, przechodzącej przez ten punkt i są jednakowo od niego oddalone.


Na podst:  Jan Zydler - Geometria: http://www.wiw.pl/matematyka/geometria/geometria_08_01.asp



Dla chętnych: Grupa symetrii: http://pl.wikipedia.org/wiki/Grupa_symetrii


Stosunek i proporcja

Jako, że słowo proporcja i stosunek często są mylone, wprowadźmy rozróżnienie między tymi pojęciami, gdyż oznaczają one nieco inne rzeczy. Nie musisz się w to wgryzać. Podajemy to dla formalnego porządku.

Najkrócej stosunek jest to odniesienie jednej wartości do drugiej,  a proporcja jest to odniesienie siebie dwóch stosunków.


Z Wikipedii: http://pl.wikipedia.org/wiki/Stosunek_%28matematyka%29

Stosunek - "odniesienie jednej wartości do drugiej. Zapisywany jest często w postaci zwykłego dzielenia lub ułamka.


Przykład.
Jeśli mamy trzy ciastka i cztery osoby, to mówimy, że trzy ciastka przypadają na cztery osoby i jest to stosunek 3:4. Stosunek jest częścią proporcji.


Proporcja jest to relacja między dwoma stosunkami. Cytuję (za Jan Zydler - Geometria) :

"Jeżeli stosunek dwóch liczb a i b jest równy stosunkowi dwóch innych liczb c i d, to możemy te dwa stosunki połączyć znakiem =, pisząc:
a : b = c : d
i powiedzieć, że dane cztery liczby tworzą proporcję.

Proporcja ta wyraża, że pierwsza z danych liczb jest tyle razy większa (względnie mniejsza) od drugiej, ile razy trzecia jest większa (względnie mniejsza) od czwartej. Tak np. cztery liczby: 15, 5, 12 i 4 tworzą proporcję:
15 : 5 = 12 : 4,
dlatego że stosunek 15 : 5 jest równy stosunkowi 12 : 4."


Proporcję możemy zapisać na dwa sposoby. Jeśli zapisujemy ją w postaci
a : b = c : d
to wyrazy  a i d nazywamy wyrazami skrajnymi,  b i c – wyrazami środkowymi.


Jeśli przedstawiamy proporcję w postaci ułamka, to wstawiamy po prostu liczby do licznika i mianownika.


Przykładowo, jeśli jeden bukiet kwiatów składa się z jednej białej i dwóch czerwonych róż, a drugi bukiet z dwóch białych i czterech czerwonych róż, to ilość kwiatów w tych bukietach zwiększa się proporcjonalnie. ;)

 * * * * *

Tutaj możesz pobawić się w odgadywanie proporcji:
http://www.ixl.com/math/practice/grade-6-proportions

Zabawa jest prosta. Kliknij w powyższy link i na stronie docelowej wpisz w puste pole odpowiednią cyfrę, aby uzyskać proporcję. Następnie kliknij klawisz "Submit".


Jeśli podasz błędną odpowiedź program poda Ci właściwe rozwiązanie. Możesz wówczas poprosić go o wyjaśnienie dlaczego właściwa odpowiedź jest taka, jaką pokazuje program - kliknij wówczas klawisz "Explanation"
« Ostatnia zmiana: Sierpień 17, 2010, 22:17:52 wysłana przez Leszek »

Offline Leszek

  • Administrator
  • Ekspert
  • *****
  • Wiadomości: 1759
    • Status GG
    • Zobacz profil
    • swietageometria.info
    • Email
Podstawowe pojęcia - Kwiat Życia
« Odpowiedź #8 dnia: Sierpień 17, 2010, 22:32:16 »
Kwiat Życia

Na okładce pierwszego tomu Pradawna tajemnica kwiatu życia Drunvalo Melchizedeka czytamy:

"Dawniej wszystko, co istnieje we wszechświecie znało Kwiat Życia jako wzór stworzenia, wykres geometryczny wiodący do egzystencji fizycznej i wyprowadzający z tej egzystencji. (...) Sekret Kwiatu Życia przetrwał jednak tysiące lat wyryty na ścianach starożytnych budowli na całym świecie, wpisany w żywe komórki wszelkiego istnienia."
http://www.swietageometria.info/ksiazki-w-j-polskim

Nazywa się go kwiatem ponieważ reprezentuje on cykl wegetacji. W środku Kwiatu Życia znajduje się siedem połączonych ze sobą kół, zwanych ziarnem życia. Z ziarna powstaje kwiat, a kwiat rodzi owoc. Według Melchizedeka Kwiat Życia zawiera w sobie wszystkie formuły matematyki, każde prawo fizyki, harmonię muzyczną i każdą biologiczną formę życia, łącznie z ludzkim ciałem. Znajdziemy w nim także platońskie bryły, będące wzorcami dla wszystkich atomów, pierwiastków, poziomów, wymiarów, dla wszystkiego co istnieje we wszechświecie w formie fal.

Jako, że pojęcie Kwiatu Życia rozpowszechnił na świecie Drunvalo Melchizedek, przedstawimy poniżej jego geometryczne schematy opisujące jeżykiem abstrakcji 1) jak powstał wszechświat, 2) jak rysuje się ziarno, kwiat i owoc życia powstał oraz 3) w jaki sposób Kwiat Życia zawiera w sobie platońskie bryły - geometryczne wzorce stworzenia. Tylko w jednym miejscu pozwolę sobie zmodyfikować nieco wywód Melchizedeka - w miejscu dotyczącym sposobu rysowania dwunastościanu na siatce Kwiatu Życia.

 
Jak powstaje Kwiat Życia?

Zacznijmy od absolutnego początku Wink

Drunvalo Melchizedek pisze w "Pradawnej Tajemnicy Kwiatu Życia":
"Z punktu widzenia fizyki lub matematyki ruch sam w sobie, czy też energia kinetyczna, nie może pojawić się w próżni. Nie może nawet wirować, bowiem najmniejszy ruch potrzebuje przynajmniej jednego obiektu w przestrzeni oprócz was samych. Musi istnieć coś, wokół czego, czy też w stosunku do czego, można wykonać ruch. Jeśli taki obiekt nie istnieje, nie wiemy, że się ruszamy. Gdybyście unieśli się dziesięć metrów w górę, to skąd byście o tym wiedzieli? Nic by się nie zmieniło. Jeśli nic się nie zmienia, nie ma ruchu."

Na początku jest więc tylko duch. Nie ma nawet przestrzeni. Duch (jego graficznym symbolem jest punkt) stwarza najpierw przestrzeń, aby cokolwiek mogło się w niej potem objawić.

Komentarz: Drunvalo Melchizedek posługuje się w swoim opisie pojęciem "Duch". W tej samej stylistyce można mówić tutaj o "pierwotnej zasadzie stwórczej", "pierwszym poruszycielu" czy też "Wielkim Architekcie Wszechświata" który kreśli wszechświat...

http://www.swietageometria.info/images/stories/Leszek/KwiatZycia/william%20blake%20-%20stworzenie%20wiata%201824.jpg
3. Podstawowe pojęcia

Jeśli jednak chcesz spojrzeć na sprawę czysto matematycznie, bez nadawania liczbom i figurom jakichś dodatkowych znaczeń, to potraktuj poniższe obrazki jako symboliczne formy - wyraz matematyczno-geometrycznego podejścia do opisu wszechświata. Po prostu bierzesz cyrkiel, ekierkę, ołówek i rysujesz... Jak się jednak okaże określone formy geometryczne, jak choćby torus, spirala i czworościan będą leżały u podstaw konstrukcji świętych alfabetów, które sterują przepływem energii. Zobacz fragment wykładu Dana Wintera z Barcelony. Jeśli z różnych względów wyda Ci się on teraz nieco zawiły,  możesz powrócić do niego po jakimś czasie... ;)

Teraz możemy już wyruszyć w stwórczą podróż.

"Duch" na początku tworzy sferę, i podziwia swoje dzieło ;)



Następnie, gdy sfera jest gotowa (mamy już dwa miejsca - punkt wyjścia i powierzchnię sfery) Duch przemieszcza się na powierzchnię i tworzy drugą sferę - identyczną jak pierwsza.



Wraz z powstaniem drugiej sfery, powstaje kształt zwany Vesica Piscis, uważany za "łono wszechświata", z którego promieniuje światło. "I stała się światłość."... Co ciekawe można znaleźć wiele obrazków zawierających taką lub inną symbolikę, która wiąże się z kształtem Vesicy Piscis. Oto kilka z nich:

Mówiąc bardziej naukowo, kiedy połączymy ze sobą cztery punkty Vesicy (środki okręgów i miejsca przecięcia się okręgów, otrzymamy krzyż, który można uznać za podstawę światła, rozumianego jako całe spektrum fali elektromagnetycznej, gdyż oba składniki tej fali (elektryczny i magnetyczny) rozchodzą się przenikając się wzajemnie pod kątem 90 stopni. W życiu codziennym człowiek uznaje za światło tylko maleńki wycinek całego spektrum fali elektromagnetycznej. Czyni tak, ponieważ utożsamia światło z tym, co widzi jego oko.

http://www.swietageometria.info/images/stories/Leszek/FORUM/swiatlo%20na%20forum.jpg
3. Podstawowe pojęcia




Poniżej: spektrum (fali) promieniowania elektromagnetycznego.
http://www.swietageometria.info/images/stories/Leszek/KwiatZycia/14%20widmold3hl9.jpg
3. Podstawowe pojęcia


"Poziomy" rzeczywistości odpowiadające poszczególnym częstotliwościom promieniowania elektromagnetycznego.
http://www.swietageometria.info/images/stories/Leszek/KwiatZycia/15%20675px-em_spectrum_properties_pl.svg.png
3. Podstawowe pojęcia

http://pl.wikipedia.org/wiki/Promieniowanie_elektromagnetyczne

Poniżej zamieszczam animację złotej spirali tworzącą Vesicę Piscis.

Zamieszczam ją ze względu na ładną wizję artystyczną. Czy tylko artystyczną? ;)
<a href="http://www.youtube.com/watch?v=jXsKh1p6vIg" target="_blank">http://www.youtube.com/watch?v=jXsKh1p6vIg</a>
Stop-klatki i z powyższej animacji
http://www.swietageometria.info/images/stories/Leszek/KwiatZycia/vesica%20na%20forum.jpg
3. Podstawowe pojęcia

Następnie duch porusza się według określonego wzoru - zawsze zmierza do punktu, który leży jak najbliżej środkowej sfery.
Nasz idzie w dół i tworzy trzecią sferę.
http://www.swietageometria.info/images/stories/Leszek/FORUM/tripod%20na%20forum.jpg
3. Podstawowe pojęcia
<- Tzw. "Tripod of Life"

Dwa komentarze:

1) W powyższe trzy sfery wpisałem trójkąt, aby zasygnalizować, że wraz z tworzenie kolejnych sfer umożliwia tworzenie kolejnych figur geometrycznych, które (w swych kształtach i proporcjach) zawierają określone kody informacyjne. Narysowany wyżej trójkąt równoboczny (czworościan foremny w 3D) zawiera w sobie np. informacje o proporcjach tworzących harmonię w muzyce. Zobacz Harmonia sfer (dźwięk): http://forum.swietageometria.info/index.php/topic,24.0.html

2) Tzw. "Tripod of Life" (Podstawa Życia?) przypomina do złudzenia stworzony przez naukowców "węzeł światła".

Po raz pierwszy naukowcom udało się zawiązać światło na supeł. Sukces ten jest osiągnięciem fizyków skupionych wokół Marka Dennisa z Bristol University. Nowe badanie jest fizycznym zastosowaniem teorii węzłów. Według naukowców promienie światła udało się zawiązać w węzeł, oddziałując na promieniowanie wyjściowe za pomocą specjalnie opracowanych hologramów.
Źródło: http://www.focus.pl/newsy/zobacz/publikacje/wezel-ze-swiatla/

Duch przesuwa się dalej i tworzy kolejne sfery wchodząc tym samym w ruch wirowy.
http://www.swietageometria.info/images/stories/Leszek/FORUM/genesis%20na%20forum.jpg
3. Podstawowe pojęcia


Gdy zatacza pierwszy pełny obrót 360 stopni, rysuje łącznie siedem sfer -  tyle ile dni trwa opisane w Biblii stwarzanie świata. Te sześć sfer opisanych na jednej środkowej sferze tworzy pierwszy statyczny kształt nazwany Wzorcem Genesis czy też Ziarnem Życia. Poniżej Ziarno Życia w kolorze oraz w... izraelskim muzeum i duńskim kościele.
http://www.swietageometria.info/images/stories/Leszek/FORUM/ziarno%20na%20forum.jpg
3. Podstawowe pojęcia

Źródło: http://www.floweroflife.org/folindia.htm

Rysunki Leonarda da Vinci z książki  L. Reti (Ed.), The Unknown Leonardo, McGraw-Hill Book Company, Toronto (1974).
http://www.swietageometria.info/images/stories/Leszek/FORUM/leonardo1%20na%20forum.jpg
3. Podstawowe pojęcia

Inne rysunki: http://home.cc.umanitoba.ca/~gunderso/pages/da_vinci_models/da_vinci_drawings.htm

Według Melchizedeka trójwymiarowy Wzorzec Genesis puszczony w ruch wirowy tworzy w wyniku rotacji wokół swej centralnej osi torus, przypominający pączek z dziurką w środku. Na poniższym obrazku nałożono na siebie dwa Wzorce Genesis. Jeden pozostał w miejscu, a drugi obrócono o 30 stopni wokół sfery środkowej, aby ukazać jego ruch. Warto może nadmienić, że jeden obrót Wzorca o 30 stopni tworzy 12 nakładających się na siebie sfer wokół jednej sfery centralnej.


Rysunek torusa zawiera w środku statyczną sferę swój pierwotny wzorzec wyjściowy.


Modele torusów najczęściej posiadają taki kształt jak poniżej. Ten ukazuje dodatkowo sposób przepływu energii.


Duch może wędrować wokół sfery wyjściowej w nieskończoność, rysując (od punktu do punktu) kolejne sfery i zakreślając nimi coraz większą przestrzeń. W interpretacji Melchizedeka wędrówka ducha kończy się po pięciu pełnych obrotach ducha wokół pierwotnej sfery wyjściowej. Dopiero wówczas bowiem duch tworzy matrycę, dzięki której można zbudować

Tak więc duch dokonuje drugiego pełnego obrotu wokół sfery centralnej, tworząc sześć kolejnych sfer w punktach leżących najbliżej sfery centralnej.


Teraz możliwe jest powstanie tzw. Jajo Życia, czyli ośmiu pierwszych komórek zwanych macierzystymi - kształt embrionalny żywego organizmu. Jajo Życia widać wyraźnie, gdy pokażemy powyższy obrazek w trzech wymiarach  - po lewej.  Po prawej stronie zdjęcie ludzkiego embrionu ośmiokomórkowego.


Duch dokonuje trzeciego pełnego obrotu i tworzy kształt podobny do kształtu zwanego w świętej geometrii Kwiatem Życia. Piszę podobny, ponieważ oryginalny symbol Kwiatu Życia zawiera w sobie zaczątki dodatkowych niedomkniętych kół i całość otoczona jest przez dwa koła koncentryczne (poniższy rysunek po prawej).


Sfery tworzone przez trzeci pełny obrót są na obrazku przyciemnione dla lepszej widoczności.
Na obrazku poniżej występuje pewna geometryczna prawidłowość. Otóż w okręgu o dowolnej wielkości mieści się zawsze siedem idealnie dopasowanych do siebie mniejszych okręgów.


W starożytności symbol Kwiatu Życia można było spotkać w różnych miejscach na całym świecie, a niektóre z nich zachowały się do dzisiaj. Poniżej przykłady


Kwiat Życia  wypalony na ścianie filaru świątyni Ozyrysa w Abydos (Egipt)
http://www.swietageometria.info/images/stories/Leszek/KwiatZycia/38fol_Abydos.jpg
3. Podstawowe pojęcia


Fragment wykładu Przekroczyć Horyzont Zdarzeń część 3.0 (50-54 min)
dotyczący świątyni Ozyrysa i znajdującego się w tej świątyni Kwiatu Życia.
<a href="http://www.youtube.com/watch?v=FsrBV_IvqgI" target="_blank">http://www.youtube.com/watch?v=FsrBV_IvqgI</a>
Cały wykład 3.0 jest TUTAJ: http://forum.swietageometria.info/index.php/topic,32.0.html

Drunvalo Melchizedek zastanawiał się dlaczego symbol Kwiatu Życia zawiera w sobie niedokończone koła otoczone dwoma zewnętrznymi kołami koncentrycznymi. Oczywiście można uznać to za kwestię estetyczną.. Jednak Melchizedek uznał to za zabieg celowy, skrywający jakąś tajemnicę. Wytłumaczył ją następująco. Otóż w oryginalnym symbolu Kwiatu Życia mamy dwa rzędy niedokończonych kół. Jeśli dokończymy te koła, to uzyskamy pełny wzór Kwiatu Życia, zawierający w sobie dziewiętnaście kół z czego trzynaście (lub dwanaście kół wokół jednego centralnego...) składa się na całość zwaną Owocem Życia.

Owoc Życia oznaczony jest na obrazku kolorem niebieskim.


Wzór Owocu Życia Melchizedek nazywa "jedną z najświętszych, najbardziej uświęconych form, jakie istnieją na Ziemi", albowiem  z jego treści "powstało wszystko, co istnieje w Rzeczywistości." Oto i on:


Według Melchizedeka Jajo Życia, torus i Owoc Życia stanowią "podstawę stworzenia wszystkiego co istnieje, bez wyjątku".

[EDIT]: RESUME
<a href="http://www.youtube.com/watch?v=PYvKX5z2XfI" target="_blank">http://www.youtube.com/watch?v=PYvKX5z2XfI</a>

W następnym poście pokażemy w jaki sposób owoc życia powiązany jest z tzw. Sześcianem Metatrona i platońskimi bryłami.
« Ostatnia zmiana: Grudzień 21, 2013, 15:29:02 wysłana przez Leszek »

Offline Leszek

  • Administrator
  • Ekspert
  • *****
  • Wiadomości: 1759
    • Status GG
    • Zobacz profil
    • swietageometria.info
    • Email
Podstawowe pojęcia - Sześcian Metatrona i bryły platońskie
« Odpowiedź #9 dnia: Sierpień 18, 2010, 10:33:14 »

Sześcian Metatrona i bryły platońskie


W świętej geometrii przyjęło się traktować koło jako symbol energii żeńskiej, a linię prostą jako symbol energii męskiej. Połączmy teraz energię męską z żeńską, nakładając linie proste na żeńskie koła. Kiedy nałożymy linie proste na Owoc Życia łącząc ze sobą wszystkie środki jego trzynastu kół, otrzymamy tzw. Sześcian Metatrona. To w jego matrycy zawarte są wszystkie platońskie bryły, poza jedną -  dwunastościanem - , której nie da się narysować używając siatki Sześcianu Metatrona. Dwunastościan możemy narysować dopiero wówczas, gdy  dorysujemy do Sześcianu dodatkowe linie.  Jednak wówczas  krawędzie dwunastościanu wykroczą poza ramy Sześcianu. co zgodne jest z pitagorejską koncepcją dwunastościanu jako "stelażu wszechświata" ( http://www.swietageometria.info/ksztalty-wszechswiata ), w ramach którego mieszczą się pozostałe bryły w sposób, który ukazany zostanie w kolejnym punkcie tego działu pt. Gwiezdna Matka. No, ale po kolei...

Nie zajmuję się tutaj mistycznym znaczeniem słowa Metatron. Osoby zainteresowane tą kwestią znajdą coś na ten temat w internecie.

W wyniku łączenia środków wszystkich kół liniami prostymi otrzymujemy Sześcian Metatrona.



Następnie przy pomocy powstałej siatki możemy narysować bryły platońskie łącząc ze sobą środki odpowiednich kół.

Na poniższych obrazkach mamy z lewej strony - bryłę platońską z siatką Sześcianu Metatrona, a po prawej - bryłę bez siatki.

Czworościan (tetrahedron)


Sześcian (hexahedron)


Ośmiościan (octahedron)


Dwudziestościan (icosahedron)

 
Dwunastościan (dodecahedron)

Jak widać na poniższym rysunku siatka Sześcianu Metatrona nie zawiera wszystkich linii potrzebnych do narysowania dwunastościanu foremnego. Dwunastościan opary jest w całości na Złotej Proporcji, którą da się uzyskać dzięki bryle sześcianu foremnego, ale uzyskana w ten sposób bryła dwunastościany foremnego wykroczy swoimi krawędziami poza obręb Sześcianu Metatrona. Jest to w sumie zgodne z koncepcją Pitagorejczyków i Platona, dla których - jak mówimy o tym w dziale Kształty wszechświata  - dwunastościan był stelażem wszechświata. To, w jaki sposób dwunastościan łączy się z sześcianem zostanie pokazane w kolejnym punkcie tego działu, gdzie bryły platońskie zostaną połączone ze sobą  trzech wymiarach tworząc tzw. Gwiazdę Matkę.


Brakujące linie dwunastościanu i próba znalezienia rozwiązania na płaszczyźnie.


Tak więc korzystając z siatki Sześcianu Metatrona, możemy dodać brakujące linie. Wykorzystując zawarte już w siatce linie, możemy dorysować proste, które wyznaczą na bokach Sześcianu Metatrona punkty, dzięki którym uzyskamy brakujące krawędzie dwunastościanu. Łącząc nowo powstałe punkty ze sobą i środkami zewnętrznych kół Sześcianu Metatrona uzyskujemy dodatkowe linie (na rysunku w kolorze czerwonym), które pozwalają narysować krawędzie całego dwudziestościan, które jednak wykroczą poza obręb Sześcianu.
Co ciekawe, okazuje się, że naniesione przez nas proste przecinają krawędzie Sześcianu Metatrona w punktach, które dzielą jego krawędzie według Złotej Proporcji opartej na liczbie Fi (Phi) = 1,618... Innymi słowy, jeśli potraktujemy krawędź Sześcianu Metatrona jako odcinek, to "nasze" punkty podzielą go według Złotej Proporcji. Koresponduje to zresztą z faktem iż budowa pięciokątnego dwunatościanu foremnego opiera się liczbie Phi.


Dwudziestościan wyrysowany przez stare i nowe linie siatki


Co ciekawe, linie wyznaczające nowe punkty na krawędziach Sześcianu Metatrona tworzą w jego centrum tzw. czworościan gwiaździsty.


Dwa ostatnie rysunki pokazują, że istnieje jakiś sposób połączenia geometrii sześciokątnej i pięciokątnej. I tak jest w istocie. Owo połączenie będzie widać wyraźnie, gdy połączymy ze sobą (w trzech wymiarach) wszystkie bryły platońskie w tzw. Gwiezdną Matkę. Zostanie to pokazane w następnym poście.
« Ostatnia zmiana: Sierpień 18, 2010, 21:07:43 wysłana przez Leszek »

Offline Leszek

  • Administrator
  • Ekspert
  • *****
  • Wiadomości: 1759
    • Status GG
    • Zobacz profil
    • swietageometria.info
    • Email
Podstawowe pojęcia - Gwiezdna Matka
« Odpowiedź #10 dnia: Sierpień 18, 2010, 20:45:36 »
Gwiezdna Matka (Star Mother)


Przyjmując za Platonem, że cały wszechświat zorganizowany na wzór pięciu podstawowych figur geometrycznych, zobaczmy jak figury te mogą łączyć się ze sobą tworząc model tzw. Gwiezdnej Matki.

Poniższy model Gwiezdnej Matki opracowany został przez  Dana Wintera

Model Gwiezdnej Matki składa się z pięciu
brył platońskich wpisanych jedna w drugą.


Źródło: http://www.goldenmean.info/kit/


Struktura Gwiezdnej Matki.


1. W centrum Gwiezdnej Matki znajduje się ośmiościan (diament).


2. Ośmiościan jest wspólnym jądrem dwóch odrębnych, przenikających się czworościanów.
1 czworościan opisany na ośmiościanie


2 czworościany opisane na ośmiościanie
tworzące tzw. tetraedr gwiaździsty (Gwiazdę Dawida w trzech wymiarach)
(niebieskie gwiazdki wskazują wierzchołki pierwszego czworościanu)


Czworościan gwiaździsty otrzymujemy dzięki stellacji ośmiościanu
http://www.swietageometria.info/images/stories/Leszek/StellacjeDuale/octa%20-%20osmioscian%20gwiazdzisty.gif
3. Podstawowe pojęcia


3. Dwa przenikające się czworościany mają osiem wierzchołków,
które połączone liniami prostymi wyznaczają krawędzie Sześcianu:



Okazuje się, że sześcian można wpisać w dwunastościan. W tym celu należy przechylić sześcian w stosunku do jego własnej podstawy dokładnie o 32 stopnie. Wówczas osiem wierzchołków sześcianu idealnie pokryje się z ośmioma wierzchołkami dwunastościanu.
Co więcej, gdy przechylony o 32 stopnie sześcian obrócimy wokół pionowej osi symetrii 5 razy, to wierzchołki sześcianu wyrysują wszystkie wierzchołki dwunastościanu, a krawędzie sześcianu obróconego pięć razy utworzą pentagram (widoczny w środku ostatniego obrazka). Oto cały ten proces:





W powyższym procesie mamy do czynienia z połączeniem geometrii sześciokątnej (heksagonalnej) z geometrią pięciokątną (pentagonalną). Najprościej mówiąc, sześcian obracając się według nowej osi symetrii wyznacza wierzchołki dwunastościanu foremnego, który składa się z dwunastu pięciokątów foremnych.  Jak zostanie to jeszcze pokazane (tutaj) pięciokąt foremny jest figurą, której przekątne tworzą pentagram, którego wszystkie ramiona przecinają się według "złotej proporcji" czy też "złotego cięcia". Każda z tych dwóch geometrii pełni określoną  funkcję,, o ile geometria sześciokątna odpowiada za stabilizację, równowagę i składowanie energii, o tyle geometria pięciokątna związana jest z rozprowadzaniem energii (jej dystrybucją czy transmisją), które opierając się na złotym podziale - jest rozprowadzaniem doskonale harmonijnym, o czym wielokrotnie będzie mówił w swoich wykładach Dan Winter.


Pozostało nam jeszcze wpisanie dwunastościanu w dwudziestościan.
Aby to zrobić przedłużamy krawędzie dwunastościanu (białe kulki tworzą jego wierzchołki)
aż do momentu, gdy krawędzie te zetkną się ze sobą tworząc 12 wierzchołków dwudziestościanu.


12 wierzchołków dwudziestościanu (żółte kulki)
Widać też sześcian wpisany w białe wierzchołki 12-ścianu.


Czy to już jest Gwiezdna Matka?
Jeszcze nie. Brakuje nam bowiem ostatniej, piątej bryły platońskiej - dwudziestościanu.

Gdy połączymy 12 wierzchołków krawędziami otrzymamy dwudziestościan


Teraz musimy tylko przedłużyć krawędzie 20-ścianu, aby otrzymać wierzchołki Gwiezdnej Matki.
Dla utrzymania stabilności konstrukcji wierzchołki te zostały "spięte" krawędziami.
(Krawędzie 'spinające' wierzchołki tworzą dwunastościan)

http://www.swietageometria.info/images/stories/Leszek/GwMatka/11%20dodeca.jpg
3. Podstawowe pojęcia


Czym jest Gwiezdna Matka?
Jest modelem fraktala ukazującym wzajemne relacje między 5 bryłami platońskimi, które osadzone są tutaj jakby w jednym gnieździe. W naturze Gwiezdnej Matki leży naprzemienne generowanie (na zasadzie pulsowania) dwunastościanu i dwudziestościanu, które wyznaczają ścieżki dla idealnego (fraktalnego) i niedestrukcyjnego przepływu energii.
Wystarczy przedłużyć krawędzie dwunastościanu, aby nieuchronnie skrzyżowały się one wyznaczając w ten sposób wierzchołki dwudziestościanu. I odwrotnie - przedłużając krawędzie otrzymanego 20-ścianu uzyskamy wierzchołki 12-ścianu.
Dwudziestościan i dwunastościan można więc wpisywać/opisywać na sobie naprzemienne W NIESKOŃCZONOŚĆ.
Owo pulsowanie oparte jest na Złotym Podziale i daje nam w efekcie idealny trójwymiarowy fraktal, opisujący zjawisko niedestrukcyjnej kompresji falowej oraz wspomnianego już przyspieszenia, które JEST grawitacją.
Według Dana Wintera Gwiezdna Matka wyznacza geometrię DNA, siatki Ziemi i Zodiaku.

Filmik: Gwiezdna Matka - budowa i funkcje.
<a href="http://www.youtube.com/watch?v=DiQtLu82tic" target="_blank">http://www.youtube.com/watch?v=DiQtLu82tic</a>

Jako, że na pulsujący szkielet dwunastościanu i dwudziestościanu "składają się naprzemiennie wiązki krawędzi obu wielościanów (...) i w którym wzrostem promieni, powierzchni i wolumenów rządzi w postępie geometrycznym rytm złotego cięcia - dostrzegamy tu idealny archetyp dynamicznego wzrostu" [M. C. Ghyka - "Złota Liczba", s. 44-45]*.
Ten idealny archetyp jest idealnym trójwymiarowym FRAKTALEM, który "pączkuje" w nieskończoność tworząc naprzemienne 12-20-12-20-ściany... Jest on obrazem krzyżowania się wszystkich fal opartego na proporcji Złotego Podziału.

Owo "pączkowanie" idealnego fraktala umożliwia wpisywanie Sześcianu Metatrona w kolejne "szkielety" dwunasto- i dwudziestościanu, dzięki czemu tworzą się kolejne "światy" na różnych poziomach Stworzenia.
Rzeczywistość jest jednak bardziej złożona. Tworzą ją bowiem nie tylko wyjściowe kształty pięciu brył platońskich, ale także ich wzajemne przenikanie się, ich projekcje, przekroje i odbicia w różnych nakładających się na siebie skalach. Pamiętajmy także , iż ewolucja niejako z definicji zakłada ruch.
Poglądowa ilustracja tego ruchu:


Gwiezdna Matka jako miara czasu [PL]

Gordon Plummer, teozoficzny autor w książce "Matematyka kosmicznego umysłu" pokazuje, że suma kątów gniazda wszystkich brył platońskich, zwanego Mniejszym Labiryntem albo Gwiezdną Matką (suma wewnętrznych kątów wszystkich brył platońskich w tym gnieździe) równa się liczbie lat precesji....
<a href="http://www.youtube.com/watch?v=yQt6f-lfIkQ" target="_blank">http://www.youtube.com/watch?v=yQt6f-lfIkQ</a>
In the Nature of Things - A talk by Gordon Plummer [ENG]
http://forum.swietageometria.info/index.php/topic,219.msg1405.html#msg1405

*Cytat pochodzi z:
Matila C. Ghyka - "Złota Liczba. Rytuały i rytmy pitagorejskie w rozwoju cywilizacji zachodniej"
"Złota liczba", wydana pierwotnie po francusku, robiła prawdziwą furorę w Europie lat trzydziestych XX w. Autor, wykorzystując bogaty materiał historyczny i porównawczy z różnych dziedzin - od fizyki atomowej poprzez dzieje architektury i sztuki aż po biologię - śledzi historię "złotej liczby" i związanych z nią pojęć rytmu oraz harmonii w kulturze zachodniej od czasów Pitagorasa do dziś. I dochodzi do zaskakującego wniosku, że geometryczna, oparta na liczbie interpretacja świata, będąca odkryciem Pitagorasa i przez całe wieki stanowiąca rdzeń ezoterycznego nauczania w tajemnych bractwach (po nowożytne wolnomularstwo!) to nie tylko historyczny wyróżnik zachodniej cywilizacji, lecz także jedno z żywych do dziś jej źródeł; przecież poszukiwanie przez fizyków nowych geometrii przestrzeni to nic innego - twierdził B. Russell - jak nawrót do pitagoreizmu..."
http://www.universitas.com.pl/ksiazka/Zlota_liczba_1481.html


AKTUALIZACJA

W maju 2013 r. pojawiła się nowa wersja kolorystyczna Gwiezdnej Matki (Star Mother) Dana Wintera.
W nowej Gwiezdnej Matce, w kolorze żółtym, wykonano elementy "przedłużające" niebieskie krawędzie dwuDZIESTOścianu (wyznaczające wierzchołki dwuNASTOścianu) oraz krawędzie dwuNASTOścianu.

Na poniższych ilustracjach Star Mother widoczna jest pod kątem ukazującym jej pięciokątną geometrię  
Uwypukliłem tę geometrię, dodając kilka linii.






http://www.goldenmean.info/kit/
« Ostatnia zmiana: Maj 26, 2013, 16:06:21 wysłana przez Leszek »

Offline Leszek

  • Administrator
  • Ekspert
  • *****
  • Wiadomości: 1759
    • Status GG
    • Zobacz profil
    • swietageometria.info
    • Email
Podstawowe pojęcia - złoty podział i liczba Phi
« Odpowiedź #11 dnia: Sierpień 18, 2010, 21:37:55 »
Złoty podział


Siła złotego podziału w tworzeniu harmonii leży w jego unikalnej zdolności
do łączenia różnych części całości w taki sposób, że każda z nich
zachowuje własny charakter, a jednocześnie wtapia się
w szerszy kontekst pojedynczej całości.

- György Doczi, The Power of Limits


Czym jest złoty podział, złota proporcja i liczba Phi?


Najprościej mówiąc złoty podział (łac. sectio aurea), to podział odcinka na dwie części w taki sposób, że cały odcinek ma się do dłuższej części tak, jak dłuższa do krótszej. Taki podział tworzy proporcję nazywaną złotą, którą oznaczamy liczbą  FI [gr. Φ; ang. Phi] Z obliczeń wynika, że wartość liczbowa tego stosunku wynosi 1,61803...

Złoty podział w Wikipedii: http://pl.wikipedia.org/wiki/Z%C5%82oty_podzia%C5%82

Jeszcze raz: złota proporcja mówi nam, że stosunek całego odcinka (a+b) do jego dłuższej części (a) jest taki sam, jak stosunek dłuższej części odcinka (a) do krótszej (b). Należy jednak zaznaczyć, że gdy podzielimy odcinek o długości 1  według złotej proporcji, to wówczas zostanie on "przecięty" w punkcie o wartości 0,618. Tak więc równie dobrze na obrazku moglibyśmy wpisać, że wartość a+b=1, a=0,618, b= 0,381.  Wszystko zależy od przyjętej na wstępie długości odcinka. Nie jest ona jednak istotna, ponieważ liczy się tutaj zachowanie proporcji.


Jak narysować złoty podział odcinka?


Najprostszy sposób polega na użyciu jednej (czerwonej) linii i czterech okręgów.
Linia niebieska to złoty podział odcinka...

Inne sposoby rysowania złotego podziału: http://www.swietageometria.info/rysunki-szablony-animacje/113-zoty-odcinek-zoty-prostokt-zota-spirala

Matematycznie istnieje tylko jeden taki podział. Zakłada się, że jako pierwszy opisał go Euklides w III w p.n.e. w swej rozprawie Elementy ( http://pl.wikipedia.org/wiki/Elementy )
Wprowadzenie nazwy "złota proporcja" przypisuje się Leonardo Da Vinci, a określenie "boska proporcja"  Luce Pacioli, który opisał ją w swym dziele De Divina proportionae do której rysunki wykonał Leonardo Da Vinci. Możesz je obejrzeć w jednym ze wcześniejszych postów: Wielokąty i bryły platońskie.
Innymi terminami używanymi na określenie złotego podziału i złotej proporcji są "złoty środek" oraz "złote cięcie".

Posługując się liczbą FI, można do dwóch wyjściowych odcinków dorysowywać kolejne odcinki  w taki sposób, że  każdy nowo powstały odcinek będzie pozostawał do wcześniejszych odcinków w złotej proporcji.
Weźmy przykładowo odcinek równy liczbie FI: C = 1.6180339 i dorysujmy do niego kolejne odcinki pozostające w z odcinkiem wyjściowym w złotej proporcji. Można to zrobić na dwa sposoby:


A) mnożąc liczbę Fi przez samą siebie:


1.0000000 x 1.6180339 =  1,6180  33...
1.6180339 x 1.6180339  = 2,6180  33...
2,6180337 x 1.6180339  = 4,2360  67...
4,236067.. x 1.6180339 =  6,8541  00..., etc.

lub
B) dodając do kolejnej sumy, poprzednią sumę:


0.6180339 + 1.0000000 =  1,6180 339
1.0000000 + 1.6180339 =  2,6180 339
2.6180339 + 1.6180339 =  4,2360 678
4,2360678 + 2.6180339 =  6,8541 017, etc...

Zarówno w wyniku dodawania i mnożenia zawsze uzyskasz takie same kolejne liczby do czterech lub więcej miejsc po przecinku (zależy to od tego, ile miejsc po przecinku wpiszesz w punkcie wyjścia). Liczby te wyznaczą długość kolejnych odcinków pozostających względem siebie w złotej proporcji.
Przykład kości dłoni pozostających względem siebie w złotej proporcji.



Liczby, które otrzymujemy w wyniku dodawania i/lub mnożenia:
A = 1,000000 cm
B = 1,618033 cm
C = 2,618033 cm
D = 4,236067 cm

wyznaczają długości kolejnych kości dłoni - oczywiście przy założeniu, że długość najkrótszej kości wynosi 1cm.
Jednak niezależnie od długości kości, proporcje między nimi zawsze będą wyznaczone przez liczbę Fi = 1,618...


Złota proporcja jest obecna w ludzkim ciele (i nie tylko w ciele...) na  kilka sposobów. Zostanie to opisane szerzej w dziale poświęconym geometrii człowieka. Zanim tam przejdziesz, możesz podzielić sobie swój wzrost przez odległość od stóp do twego pępka.  Wynik powinien oscylować wokół wartości FI = 1, 618.  Przed pomiarem ściągnij oczywiście buty na obcasach... ;)

« Ostatnia zmiana: Sierpień 31, 2010, 14:18:47 wysłana przez Leszek »

Offline Leszek

  • Administrator
  • Ekspert
  • *****
  • Wiadomości: 1759
    • Status GG
    • Zobacz profil
    • swietageometria.info
    • Email
Podstawowe pojęcia - Złoty prostokąt, złoty trójkąt i pentagram
« Odpowiedź #12 dnia: Sierpień 18, 2010, 22:01:33 »

Złoty prostokąt, złoty trójkąt i pentagram


Gdy wiemy już czym jest złota proporcja, możemy narysować złoty prostokąt. Oto on:


Jak narysować złoty prostokąt? (animacja)


Złoty prostokąt jako jedyny ma taką oto właściwość, że można podzielić go (przy pomocy kwadratów) na mniejsze prostokąty. Otrzymane, mniejsze prostokąty będą posiadały tę samą proporcję, co prostokąt wyjściowy, niezależnie od tego jak wiele mniejszych prostokątów narysujemy. Oczywiście  rysując coraz mniejsze złote prostokąty na kartce papieru dojdziemy do punktu, w którym nie będziemy w stanie narysować kolejnego prostokąta z powodu jego bardzo małej wielkości. Jednakże posługując się programem komputerowym  możemy rysować bez końca. W tym przypadku, dochodząc do punktu, w którym ograniczyła nas kartka papieru, możemy nasz malutki prostokąt powiększyć  i ciągnąć  naszą zabawę dalej, w nieskończoność...

Warto tu powiedzieć, że gdy zmienimy nieco proporcje boków naszego wyjściowego prostokąta, wówczas kolejne rysowane prostokąty przestaną być harmonijne. Szybko ulegną zniekształceniu, a cały rysunek  niebawem pogrąży się w chaosie... Utracimy złotą harmonię... To nie przypadek, że złotą proporcję nazywa się proporcją harmoniczną...

Rysując kolejne kwadraty tworzymy kolejne złote prostokąty.

Więcej na temat rysowania złotego prostokąta:
http://www.swietageometria.info/rysunki-szablony-animacje/113-zoty-odcinek-zoty-prostokt-zota-spirala


Złoty trójkąt

Oprócz złotego prostokąta mamy inną interesującą figurę - złoty trójkąt. Jego właściwości są  chyba jeszcze  bardziej ciekawe niż właściwości złotego prostokąta. Złoty trójkąt to trójkąt równoramienny, w którym stosunek boku do podstawy jest równy liczbie FI. Obydwa kąty przy podstawie tego trójkąta mają po 72 stopnie. Kąt wewnętrzny wierzchołka naprzeciwko podstawy wynosi 36 stopni. Trójkąt ten ma podobną właściwość jak złoty prostokąt: można go dzielić na kolejne mniejsze trójkąty, które też będą złotymi trójkątami.

Złoty trójkąt jest częścią pentagramu (jest to stallacja lub przekątne pięciokąta foremnego) którego WSZYSTKIE ramiona przecinają się według zasad złotego podziału.


I właśnie dlatego, że wszystkie ramiona pentagramu przecinają się według "złotego cięcia" jest on figurą symbolizującą doskonałą harmonię, co wielu osobom może wydać się teraz "dziwne" ponieważ większość z nas ma nieco inne skojarzenia związane z pentagramem. Wszystko wskazuje jednak na to, że nasze  skojarzenia mają związek z ukrywaniem wiedzy o proporcjach harmonicznych przyrody ( http://www.swietageometria.info/harmonia-sfer?start=5 ) Zobacz też tekst z 29.06.2010 pt. Brytyjscy naukowcy odkrywają „tajne przekazy” ukryte w starożytnych tekstach Platona: http://www.swietageometria.info/artykuly/168-brytyjscy-naukowcy-odkrywaj-tajne-przekazy-ukryte-w-staroytnych-tekstach-platona

Warto dodać w tym miejscu , że Pitagorejczycy uważali pentagram za symbol doskonałości i zdrowia... Znakiem tym uczeni pozdrawiali się i wzajemnie rozpoznawali, kreśląc go na piasku.

Pięciokąt i pentagram jako model idealnego fraktala na płaszczyźnie.




Pięciokąt (pentagon) ze swoimi przekątnymi tworzącymi pentagramem
składa się tylko z dwóch rodzajów trójkątów, z czego jeden to złoty trójkąt.
Pitagorejczycy złoty trójkąt z poniższego obrazka nazywali Pollux a czerwony Castor


Źródło obrazków http://goldennumber.net/

Zobacz też Ognie świętego Elma (ognie Kastora i Polluksa) ;)
http://pl.wikipedia.org/wiki/Ognie_%C5%9Bwi%C4%99tego_Elma

Złoty trójkąt możemy dzielić w nieskończoność i otrzymywać coraz to nowe, powtarzające się
harmonijnie, fraktalne wzory składające się z  powyższych  dwóch "bratnich" trójkątów.

Źródło obrazków: http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/phi2DGeomTrig.html


« Ostatnia zmiana: Sierpień 19, 2010, 11:29:32 wysłana przez Leszek »

Offline Leszek

  • Administrator
  • Ekspert
  • *****
  • Wiadomości: 1759
    • Status GG
    • Zobacz profil
    • swietageometria.info
    • Email
Podstawowe pojęcia - Złota spirala, spirala i szereg Fibonacciego
« Odpowiedź #13 dnia: Sierpień 18, 2010, 22:04:22 »
Złota spirala, spirala i szereg Fibonacciego



W sensie matematycznym złota spirala jest krzywą. Istnieje jednak wiele rodzajów spiral. Ich ich cechą wspólną jest to, że rozwijają się wokół stałego punktu (zwanego biegunem spirali) zwiększając odległość od niego.
Złota spirala, utworzona według zasady złotego podziału nazywana jest przez matematyków spiralą logarytmiczną lub spiralą równokątną.

"Nazwa 'równokątna' wzięła się stąd, że każda półprosta wychodząca ze środka spirali przecina każdy jej zwój pod tym samym kątem. (...) Spirala równokątna jest figurą samopodobną, tzn. że dowolny jej fragment odpowiednio powiększony (lub pomniejszony) pokrywa się z pewnym innym jej fragmentem (taką własność mają też fraktale).

To właśnie samopodobieństwo tłumaczy, dlaczego taka a nie inna spirala pojawia się na muszlach. Wraz ze wzrostem ciała mięczaka powiększa się również muszla, która go chroni. Organizm staje się coraz większy, ale wciąż zachowuje swój pierwotny kształt. Muszla zachowuje się podobnie.

W przeszłości krzywa ta zwana była spira mirabilis  (cudowna spirala), a słynny XVII wieczny matematyk szwajcarski Jakub Bernoulli był tak zafascynowany jej własnościami, że życzył sobie, aby została wyryta na jego nagrobku z napisem eadem mutata resurgo  (pozostaję ta sama, choć się zmieniam). Tak się (prawie!) stało, choć niestety grawer okazał się kiepskim matematykiem i na grobie uczonego w katedrze w Bazylei widnieje do dziś inna spirala, o równych odstępach między kolejnymi zwojami (zwana spiralą Archimedesa) - patrz zdjęcie obok."
 Źródło: http://www.matematyka.wroc.pl/matematykawsztuce/spiralny-swiat-muszli



Złota spiralę można skonstruować geometrycznie przynajmniej na dwa sposoby - używając do tego złotych trójkątów



lub złotego prostokąta

Złota spirala ma tak wiele odniesień, że opisanie ich tutaj zajęłoby bardzo dużo miejsca. Będziemy o niej mówić w dziale Geometria przyrody, geometria człowieka i jest o niej sporo w filmach Dana Wintera. Dlatego  tutaj  wspomnę tylko o dwóch sprawach związanych ze złotą spiralą. Obie pochodzą z twórczości Dana Wintera. Według niego, złota spirala nie jest jedynie abstrakcyjną konstrukcją matematyczną. Jest ona przede wszystkim 1) "mapą" dla idealnej kompresji ładunku elektrycznego, czyli implozji  - tekst pod obrazkiem http://www.swietageometria.info/ksztalty-wszechswiata?start=2 oraz 2) ścieżką, którą (w sposób fraktalny i perfekcyjny) podąża ładunek elektryczny, by ostatecznie wejść do naszej krwi, do DNA, co wiąże się  z pojęciem Świętego Graala. Dzięki temu, że budowa spirali, podobnie jak budowa naszego DNA oparta jest na złotym podziale, możliwe jest wejście energii (ładunku elektrycznego) do DNA. Ów kontakt, jak jeszcze zobaczymy, z pewnej perspektywy oznacza znalezienie Świętego Graala... I faktycznie,  przynajmniej w sensie graficznym, złota spirala obracana wokół swego bieguna tworzy coś, na kształt kielicha, który Dan Winter nazywa "jedynym prawdziwym trójwymiarowym fraktalem" będącym dla niego Świętym  Graalem. Zobacz  dwa fragmenty filmów Dana w wątku Czym jest Święty Graal? http://www.swietageometria.info/wyklad-z-barcelony-luty-2009?start=1 (Być może będą one na ten moment jeszcze zbyt hermetyczne, ale nie przesądzam...  Teraz zobaczmy jednak kilka obrazków i animacji złotej spirali.


Złota spirala - widok z góry i z boku


Złota spirala tworzy kielich Graala obracając się wokół swego bieguna
(plik ma 900kb, więc trochę może potrwać nim się załaduje)

Fragment powyższego ruchu spirali w powiększeniu
http://www.swietageometria.info/images/stories/Leszek/ZlotaSpirala/grail%20od%20lucyfera.gif
3. Podstawowe pojęcia


Kielich Graala z naniesionymi na niego złotymi spiralami - w kolorze zielonym
http://www.swietageometria.info/images/stories/Leszek/ZlotaSpirala/rosespiralshalfgrail.gif
3. Podstawowe pojęcia


Co ciekawe złote spirale opisane na złotym pięciokącie tworzą kształt do złudzenia przypominający kwiat róży... :)
http://www.swietageometria.info/images/stories/Leszek/FORUM/roa%20na%20forum.jpg
3. Podstawowe pojęcia


Już nie tak ładny i romantyczny jak powyższe obrazki,
przykładowy ruch dwóch spiral ukazany w trzech wymiarach.
<a href="http://www.youtube.com/watch?v=hVu_JPj7v6A" target="_blank">http://www.youtube.com/watch?v=hVu_JPj7v6A</a>

O Świętym Graalu będziemy mówić  jeszcze w dziale Geometria człowieka, podobnie jak o złotej spirali  powiemy jeszcze w dziale Święta geometria w przyrodzie http://www.swietageometria.info/swieta-geometria-w-przyrodzie


Spirala i szereg Fibonacciego

Złota spirala jest bardzo podobna do spirali Fibonacciego różni je jednak zasadniczy szczegół. O ile złota spirala zmierza do swego bieguna (punktu centralnego), ale NIGDY go nie osiąga (biegun ten leży w obszarze nieskończoności), o tyle spirala Fibonacciego zmierza do swego bieguna i go osiąga w punkcie zero. Niektórzy rozpoczynają ciąg Fibonacciego od zera, a inni od liczby jeden - jak ponoć robił to sam Fibonacci. Dla wygodny obliczeń posłużymy się tutaj zerem, pamiętając, że święta geometria zaczyna swe liczenie od jedynki - symbolu Jedni (jedności wszystkiego co istnieje). Tak czy inaczej jeżeli chodzi o złotą spiralę, to jej biegun leży o obszarze nieskończoności i w tym sensie złota spirala nie ma swego początku. Natomiast spirala Fibonacciego ma swój początek leżący w punkcie zero. Nie będziemy tu rozstrzygać  czy początek powinniśmy oznaczać  matematycznie jako 1 (jeden) czy 0 (zero).

Zestawienie obu spiral.


Na powyższym rysunku widać, że spirala spirala Fibonacciego wychodzi z nieco innego punktu, ale z czasem zbliża się do Złotej Spirali przecinając ja nieustannie na zasadzie asymptoty ( http://pl.wikipedia.org/wiki/Asymptota ) którą zamieszczam w celu lepszego zobrazowania tego zjawiska.



Spirala Fibonacciego zbliża się więc do Złotej spirali, ale nigdy się z nią nie pokryje, choć wizualnie  możemy odnieść takie wrażenie.

Stanie się to jaśniejsze, gdy powiemy, że spirala Fibonacciego opiera się na ciągu Fibonacciego, który ma taka właściwość, że wynik dzielenia kolejnej liczby ciągu przez poprzednią liczbę dąży do wartości liczby Phi = 1,6180339... czyli boskiej proporcji.

O ciągu Fibonacciego jest wiele informacji w internecie, np.  http://matma4u.pl/fibonacci-i-zloty-podzial-t1933.html#entry5799 [PL] lub  http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/ [ENG] dlatego ograniczymy się tutaj tylko do tego co niezbędne.

Tak więc, ciąg Fibonacciego jest przykładem ciągu rekurencyjnego, czyli takiego, w którym następny wyraz zależy od poprzedniego. W ciągu (szeregu) Fibonacciego każdy kolejna liczba jest sumą dwóch poprzednich liczb, stąd ciąg Fibonacciego przedstawiać się będzie następująco:


0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, etc…


Mają już liczby ciągu Fibonacciego, możemy narysować spiralę Fibonacciego. Rysujemy ją tak samo jak Złotą Spiralę , czyli  łączymy przekątne kolejnych kwadratów prostokąta. Różnica leży w proporcjach prostokąta. Złotą spiralę rysujemy w złotym prostokącie o proporcjach boków 1 x 1.618 natomiast spiralę Fibonacciego rysujemy w prostokącie zbudowanym z kolejnych  kwadratów o długości boków odpowiadającej kolejnym liczbom ciągu Fibonacciego, czyli 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, etc.

Rysowanie prostokąta i spirali Fibonacciego wpisanej w ten prostokąt.
http://www.swietageometria.info/images/stories/Leszek/ZlotaSpirala/spirala%20fibonacciego%20w%20prostokcie%20lucy%20smaller.gif
3. Podstawowe pojęcia

zestawmy ten prostokąt ze złotym prostokątem
http://www.swietageometria.info/images/stories/Leszek/ZlotaSpirala/zloty%20prostokat%20raz%20jeszcze.gif
3. Podstawowe pojęcia

No cóż, spirale prawie takie same, ale jednak różne...

Zobrazujmy teraz w jaki sposób wynik dzielenia każdej liczby ciągu Fibonacciego przez poprzedzającą ją liczbę tego ciągu dąży do wartości liczby Phi= 1,6180339... Tabela pokazuje, że wraz z kolejnymi wynikami dzielenia, ciąg Fibonacciego dąży do  liczby FI= 1,6180339 - boskiej proporcji. Najpierw jest to 1, potem 2, 3, 4, 5, a potem 6 cyfr po przecinku.



Istnieje także ciekawy związek między ciągiem Fibonacciego i trójkątem Pascala.
http://www.swietageometria.info/images/stories/Leszek/ZlPodzialFRA/trojkat%20pascala%20i%20ciag%20fibponacciego.png
3. Podstawowe pojęcia

Źródło obrazka: http://goldennumber.net/pascal.htm


Źródło: http://pl.wikipedia.org/wiki/Tr%C3%B3jk%C4%85t_Pascala
« Ostatnia zmiana: Sierpień 24, 2010, 20:30:58 wysłana przez Leszek »

Offline Leszek

  • Administrator
  • Ekspert
  • *****
  • Wiadomości: 1759
    • Status GG
    • Zobacz profil
    • swietageometria.info
    • Email
Podstawowe pojęcia - Sześcio-ośmiościan i 'jitterbug' Buckminster Fullera
« Odpowiedź #14 dnia: Sierpień 19, 2010, 12:14:49 »
Sześcio-ośmiościan i  'jitterbug'  Buckminster Fullera
Buckminster Fuller: http://pl.wikipedia.org/wiki/Buckminster_Fuller

 
Sześcio-ośmiościan to szczególna bryła, w której wszystkie wektory sił równoważą się wzajemnie, tworząc stan idealnej równowagi. Zobacz w jaki sposób Nassim Haramein opisuje równowagę wektorową we fragmencie wykładu Przekroczyć Horyzont Zdarzeń - część 2.0  (17-21 min.)

<a href="http://www.youtube.com/watch?v=r6BG7EWADa8" target="_blank">http://www.youtube.com/watch?v=r6BG7EWADa8</a>[/url]
Cały wykład Nassima Harameina
http://forum.swietageometria.info/index.php/topic,34.0.html

Równowaga wektorowa przechodząca z dwóch (2D) do trzech (3D) wymiarów (animacja i obraz statyczny)

Na powyższej animacji  widzimy "przejście" od jednej sześciokątnej płaszczyzny (w 2D) do czterech sześciokątnych płaszczyzn  tworzących bryłę sześcio-ośmiościanu (równowagę wektorową) w 3D.  Gdzie one są? Otóż jedna płaszczyzna jest równoległa do horyzontu, druga leży w płaszczyźnie twego monitora/kartki, trzecia i czwarta nachylone są w prawo i w lewo pod kątem 60 stopni do horyzontu).
W ten sposób, w trzech wymiarach (3D) otrzymujemy osiem czworościanów foremnych zwróconych swymi wierzchołkami do środka, które zbiegając się w ten sposób tworzą sześć piramidek o podstawie kwadratu także zwróconych swymi wierzchołkami do środka (obrazek po prawej).

Dodam jeszcze dla formalności, że sześcio-ośmiościan posiada 12 wierzchołków, 24 krawędzi, 14 ścian (8 trójkątów równobocznych, 6 kwadratów). Jest to bryła dualna z dwunastościanem rombowym.
http://pl.wikipedia.org/wiki/Sze%C5%9Bcio-o%C5%9Bmio%C5%9Bcian

Nazwa bryły "sześcio-ośmiościanu" bierze się stąd, że bryłę tą można otrzymać ŚCINAJĄC wierzchołki zarówno sześcianu jak i ośmiościanu, co widać na poniższym obrazku, gdzie mamy sześcio-ośmiościan wpisany w sześcian (po lewej) i w ośmiościan (po prawej).

Animacja ścinania wierzchołków ośmiościanu aż do uzyskania sześcio-ośmiościanu
oraz powrót do bryły wyjściowej - ośmiościanu.

Animację wykonał Lucyfer z  forum o świętej geometrii na podstawie animacji
ze strony http://virtualmathmuseum.org/Polyhedra/index.html Dzięki! :)

Ośmiościan możemy uzyskać ścinając wierzchołki czworościanu.



Jitterbug, czyli taniec "równowagi wektorowej" Richarda Bucminster Fullera.

Jitterbug to nazwa tańca akrobatycznego http://www.slownik-online.pl/kopalinski/E2BFE1274524B615C12565EB004C4A23.php i w naszym kontekście jest to po prostu metafora opisująca przekształcenia w obrębie sześcio-ośmiościanu - równowagi wektorowej.
Otóż szczególna właściwość sześcio-ośmiościanu (równowagi wektorowej) Buckminster Fullera polega na tym, że można go przekształcać według określonego wzoru i otrzymując kolejno dwudziestościan, ośmiościan i czworościan, czyli trzy z pięciu brył platońskich.  Dan Winter w filmie "Purpose of DNA"  bawi się widoczną na poniższej animacji zabawką pokazując taniec Jitterbug, czyli to  w jaki sposób wyjściowy sześcio-ośmiościan przekształca się w dwudziestościan, ośmiościan i na końcu czworościan.

Jitterbug - od sześcio-ośmiościanu do czworościanu.

Jitterbug - faza sześcio-ośmiościan <=> ośmiościan


To samo na statycznych obrazkach:

a) sześcio-ośmiościan, b) dwudziestościan, c) zobrazowanie fazy przejściowej (bez jakiejś szczególnej geometrii) d) ośmiościan

Opis powyższego rysunku: "Taniec Jitterbug" zaczyna się od  równowagi wektorowej sześcio-ośmiościanu. (Wyjściowy sześcio-ośmiościan składa się z 24 wektorów (krawędzi) połączonych ze sobą gumowymi złączkami". W trakcie przekształcenia NIC nie jest tutaj odjęte ani dodane. Te same 24 krawędzie tworzą kolejne figury. Generalnie sześcio-ośmiościan przekształca się w ośmiościan i czworościan. Jednakże niejako "po drodze" pojawia się dwudziestościan jako faza przejściowa pomiędzy równowagą wektorową (szościo-ośiościanem) i ośmiościanem . Jego kształt wyznacza jednak tylko 12 wierzchołków sześcio-ośmiościanu. Brakuje tu bowiem pewnych krawędzi, które posiada dwudziestościan. Nie można ich  jednak sztucznie  wstawić, gdyż unieruchomiłoby to naszego "tancerza". Niemniej w tej nieco okrojonej formie kształt dwudziestościanu pojawia się jako faza przejściowa  między sześcio-ośmiościanem i ośmiościanem, co sugeruje przynależność dwudziestościanu do nieco innego porządku geometrycznego. Warto też zwrócić  uwagę na fakt, że w w naszym tańcu zmienia się tylko kształt wyjściowych kwadratów, a kształt trójkątów pozostaje bez zmian.

Tańcząc dalej, nasza bryła wyjściowa zmienia się (kurczy) w ośmiościan, który następnie rozpłaszcza się (robi szpagat  ;) aby - ostatecznie - przekształcić się w czworościan - najprostszą bryłę z możliwych:


Zobacz jak wyglądają kroki taneczne do Swing Dance - Jitterbug Routine
http://embed.5min.com/149485143/

ORYGINALNY rysunek wg Buckminster Fullera wraz z opisem. Kliknij w link:
http://www.rwgrayprojects.com/synergetics/plates/figs/plate04z.html


Reasumując, 'taniec' Jitterbug operuje wektorami sześcio-ośmiościanu, które przekształcają się czy reorganizują  w inne systemy (kształty, bryły) które na poziomie fizycznej czy chemicznej manifestacji dają różne fizyczne i chemiczne właściwości.  Można to sobie odnieść do kształtów różnych cząsteczek chemicznych, które dzięki owym "różnicom kształtów" dają nam substancje o różnych właściwościach.  Ostatecznie  i nieco upraszczając tak właśnie wygląda świat  z perspektywy świętej geometrii -- RÓŻNICE JAKOŚCIOWE, które obserwujemy w świecie są konsekwencją różnic w kształtach i zawartych w nich proporcji. Wyjściowa, jednorodna substancja wszechświata organizuje się więc według geometrycznych wzorów, dając nam wielkie zróżnicowanie świata w którym żyjemy.
« Ostatnia zmiana: Sierpień 20, 2010, 08:49:13 wysłana przez Leszek »

Offline Leszek

  • Administrator
  • Ekspert
  • *****
  • Wiadomości: 1759
    • Status GG
    • Zobacz profil
    • swietageometria.info
    • Email
Podstawowe pojęcia - Torus
« Odpowiedź #15 dnia: Sierpień 19, 2010, 12:47:39 »
Torus

w budowie...

Toroid jest to bryła geometryczna w kształcie pierścienia. Powstaje poprzez obrót dowolnej figury geometrycznej (prostokąta, okręgu, trójkąta) dookoła osi leżącej poza tą figurą. Jeśli obracaną figurą jest okrąg, wówczas powstała bryła nosi nazwę torusa. Jeśli obracany jest prostokąt, powstaje rura cylindryczna.


Torus jest jednym z fundamentalnych kształtów podtrzymujących wszechświat w istnieniu. W końcu wszystko we wszechświecie wiruje...

http://swietageometria.info/s/di-USZJ.gif
3. Podstawowe pojęcia


Torusy posiadają różne kształty. Nas interesować będzie tutaj gównie torus posiadający taki kształt, który pozwoli na opisanie na nim złotej spirali. Dzięki temu zabiegowi możliwe będzie tworzenie alfabetów... Poniżej animacja Złotej Spirali na Torusie.


Spirala (wir) porusza się ruchem dośrodkowym, a następnie przechodzi w ruch odśrodkowy ("kompresja" - "dekompresja" albo "pakowanie" - "rozpakowanie"), aby następnie niejako po okręgu powrócić i znów stać się ruchem dośrodkowym... i tak w nieskończoność. Można powiedzieć, że torus jest obrazem nieskończoności, nieustannego ruchu.

Jeśli przyjąć, że istnieją prawdziwe symbole, czyli takie, których kształt odpowiada kształtowi jakiegoś elementu "boskiej kreacji", to niewątpliwie torus miałby tutaj swoją symbolikę. Obrazują to choćby lemniskata jako symbol nieskończoności i symbol Yin - Yang


Lemniskata w dwóch wymiarach jest obrazem torusa w trzech wymiarach.

Lemniskata


Torus, a dokładniej schemat przedstawiający pulsar. Niebieska kulka to gwiazda neutronowa, białe linie to linie pola magnetycznego, zielona linia to oś obrotu, a niebieski promień to sygnał emitowany przez pulsar.
http://swietageometria.info/s/di-8DRV.png
3. Podstawowe pojęcia

Pulsar jest gwiazdą neutronową wysyłającą w niewielkich i regularnych odstępach czasu impulsy promieniowania elektromagnetycznego - najczęściej radiowe.
Więcej: http://www.eioba.pl/a123690/interesujace_fakty_astronautyczne#ixzz0mcqOReyR

Torusowe "halo" wokół galaktyki.
http://www.swietageometria.info/s/di-YO89.jpg
3. Podstawowe pojęcia


Torus przecięty na pół, obrazujący przepływ energii.


Torus (wpisany w okrąg) i symbol Yin - Yang


Jako, że jednym z bohaterów mojej strony jest Nassim Haramein, zamieszczam animację jego podwójnego torusa, którego sens i znaczenie omówione zostało w drugiej części jego wykładu Przekroczyć Horyzont zdarzeń. http://forum.swietageometria.info/index.php/topic,34.0.html

Podwójny torus Nassima Harameina.

Źródło: http://www.theresonanceproject.org/graphics.html

Można powiedzieć, że torus posiada także naturę fraktalną o której mówi w swoich wykładach Dan Winter.

Źródło: http://www.theresonanceproject.org/graphics.html

Dzięki fraktalnej naturze torusa możliwe jest według Wintera  energetyczne osadzanie się człowieka w coraz to większych obszarach rzeczywistości. Na rysunku poniżej widać wychodzące z przestrzeni serca elektromagnetyczne pole toroidalne, w którym zawiera się mniejsze pole toroidalne. Oba pola ześrodkowane są na tej samej osi.

Pole elektromagnetyczne serca.
http://www.swietageometria.info/images/stories/Leszek/Torus/heart-field.jpg
3. Podstawowe pojęcia

Link do opisu obrazka  (w j. angielskim): http://www.heartmath.org/research/science-of-the-heart-head-heart-interactions.html
Źródło obrazka: http://galacticculture.wordpress.com/2009/09/08/invitation/heart-field/

« Ostatnia zmiana: Kwiecień 07, 2014, 10:47:26 wysłana przez Leszek »

Offline Leszek

  • Administrator
  • Ekspert
  • *****
  • Wiadomości: 1759
    • Status GG
    • Zobacz profil
    • swietageometria.info
    • Email
Podstawowe pojęcia - Fraktale
« Odpowiedź #16 dnia: Sierpień 19, 2010, 13:08:42 »
Fraktale


Fraktal (łac. fractus – cząstkowy, złamany) w znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt samo-podobny tzn. taki, którego części powtarzają się w różnej skali w tym samym obiekcie.(...) Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki przez francuskiego informatyka i matematyka polskiego pochodzenia Benoita Mandelbrota w latach siedemdziesiątych XX wieku. Dzięki jego odkryciom zastosowano fraktale do opisu takich obiektów jak linie brzegowe, chmury, drzewa czy błyskawice. Geometrię fraktalną wykorzystuje się dzisiaj w wielu dziedzinach  - zobacz film "Ukryty wymiar - fraktale" (jest poniżej). Dan Winter uczynił z zasady fraktalności opartej na Złotym Podziale podstawę swojej twórczości, wynalazków i odpowiedzi na pytanie "Czym jest święty Graal?"... http://www.swietageometria.info/wyklad-z-barcelony-luty-2009?start=1  :)
Więcej: http://pl.wikipedia.org/wiki/Fraktal


Zbiór Mandelbrota http://pl.wikipedia.org/wiki/Zbi%C3%B3r_Mandelbrota
<a href="http://www.youtube.com/watch?v=zSvgIyecoHE" target="_blank">http://www.youtube.com/watch?v=zSvgIyecoHE</a>

http://www.swietageometria.info/images/stories/Leszek/ZlPodzialFRA/mikro%20-%20makro.jpg
3. Podstawowe pojęcia

Zasada samopodobieństwa pozwala nam uznać komórkę mózgową za fraktalną wobec innych elementów wszechświata. Podobnie elektrony krążące wokół jądra atomu możemy uznać za fraktalne względem planet krążących wokół jakiejś gwiazdy. Generalna zasada mówi tu, że obiekt ma budowę fraktalną jeśli większe elementy obiektu różnią się od mniejszych jedynie skalą (wielkością), a ich kształt zachowuje w różnych skalach te same proporcje.


Fraktalna rosyjska babuszka ;)


Dwa odcinki składające się na kąt prosty tworzą (według
fraktalnego samopodobieństwa) coś na kształt smoka... ;)
http://www.swietageometria.info/images/stories/Leszek/StellacjeDuale/smok%202%20OK.gif
3. Podstawowe pojęcia

Źródło: http://virtualmathmuseum.org/Fractal/index.html

Ciekawym i znaczącym przykładem fraktala są włókna Purkiniego

Więcej o włóknach Purkiniego jest TUTAJ  http://www.swietageometria.info/wyklad-z-barcelony-luty-2009?start=2 (na dole strony)


O tym jaki sposób zasada fraktalności łączy ze sobą nieskończoność i granice (obszary rzeczywistości)...
Fragment wykładu Nassima Harameina "Przekroczyć Horyzont Zdarzeń" cześć 1.0 (21-26 min.)
<a href="http://www.youtube.com/watch?v=OfySlh28mKk" target="_blank">http://www.youtube.com/watch?v=OfySlh28mKk</a>[/url]
Cały wykład Nassima:
http://forum.swietageometria.info/index.php/topic,35.0.html


Polecam także film "Ukryty wymiar - fraktale".
Fraktale są wszędzie. Ich nieregularne kształty można znaleźć w formacjach chmur i koronach drzew, w kwiatach brokuł, pofałdowanych pasmach górskich, a nawet w ludzkim sercu. Fraktale, inaczej obiekty samopodobne, to nie tylko ładne obrazki. Od stuleci były poza granicami matematycznego zrozumienia. Dziś naukowcy zaczynają dotykać tego zdumiewającego zjawiska. Ich odkrycia pozwalają głębiej zrozumieć naturę, stymulują nowe trendy w nauce, medycynie, sztukach artystycznych, ekologii, a nawet w modzie.

<a href="http://www.youtube.com/watch?v=8MOE-xzvoA4" target="_blank">http://www.youtube.com/watch?v=8MOE-xzvoA4</a>

To samo na Dailymotion: http://www.dailymotion.com/video/xlo7on_ukryty-wymiar-fraktale_lifestyle

SZUKAJ FILMU W SIECI

Zobacz też krótki wykład
Ron Eglash - Afrykańskie fraktale [PL]
http://www.swietageometria.info/filmy/152-ron-eglash-afrykaskie-fraktale-pl
lub tu na forum http://forum.swietageometria.info/index.php/topic,319.0.html
« Ostatnia zmiana: Kwiecień 30, 2014, 15:26:58 wysłana przez Leszek »

Offline Leszek

  • Administrator
  • Ekspert
  • *****
  • Wiadomości: 1759
    • Status GG
    • Zobacz profil
    • swietageometria.info
    • Email
Odp: 3. Podstawowe pojęcia
« Odpowiedź #17 dnia: Sierpień 27, 2010, 18:40:24 »
Jeszcze trochę o fraktalach - Spirale, fraktale i krzywa Kocha

http://swietageometria.info/s/di-OXM5.jpg
3. Podstawowe pojęcia

http://thecleaver.blogspot.com/2008/06/go-your-own-way-gnosis-and-fractal.html#809189D2-7517-4af1-BAF0-1A36C3BB8640&command=%20m_objCurrentDocument.getElementById(%27globalWrapper%27).style.position%3D%27relative%27%3B

Krzywa Kocha

http://swietageometria.info/s/di-EI2P.gif
3. Podstawowe pojęcia

7 pierwszych kroków algorytmu generującego krzywą Kocha.

Płatek śniegowy Kocha

Aby utworzyć płatek śniegowy von Kocha stale dodawaj mniejszy trójkąt do każdego nowego segmentu.

http://pl.wikipedia.org/wiki/Krzywa_Kocha


Trójkąt Sierpińskiego

Aby utworzyć Trójkąt  Sierpińskiego stale wycinaj środek każdego segmentu. Zauważ, że każdy mniejszy trójkąt wygląda dokładnie tak samo jak w cały trójkąt.
Źródło: http://world.mathigon.org/Fractals

Złote spirale wychodzące z wierzchołków dziesięcioboku
(dwóch nałożonych na siebie pięciokątów foremnych)
« Ostatnia zmiana: Kwiecień 30, 2014, 15:21:30 wysłana przez Leszek »

Offline ..

  • Ekspert
  • *****
  • Wiadomości: 588
    • Zobacz profil
    • Email
Odp: 3. Podstawowe pojęcia
« Odpowiedź #18 dnia: Sierpień 27, 2010, 19:30:54 »
VAVEL napisał:

Paproć Barnsleya wygenerowana za pomocą systemu IFS (z ang. iterated function system) zwany też systemem funkcji iterowanych albo przekształceń zwężających. Fraktal znany ze względu na uderzające podobieństwo do liści paproci występujących w naturze, spopularyzowany przez Michaela F. Barnsleya:



wiecej tu:
http://pl.wikipedia.org/wiki/Paproć_Barnsleya
« Ostatnia zmiana: Kwiecień 07, 2014, 10:52:43 wysłana przez Leszek »

Offline Leszek

  • Administrator
  • Ekspert
  • *****
  • Wiadomości: 1759
    • Status GG
    • Zobacz profil
    • swietageometria.info
    • Email
Odp: 3. Podstawowe pojęcia
« Odpowiedź #19 dnia: Sierpień 31, 2010, 14:24:44 »
Złoty podział i liczba Phi

Czym jest złoty podział, złota proporcja i liczba Phi?


Najprościej mówiąc złoty podział (łac. sectio aurea), to podział odcinka na dwie części w taki sposób, że cały odcinek ma się do dłuższej części tak, jak dłuższa do krótszej. Taki podział tworzy proporcję nazywaną złotą, którą oznaczamy liczbą  FI [gr. Φ; ang. Phi] Z obliczeń wynika, że wartość liczbowa tego stosunku wynosi 1,61803...



east napisał:

LICZBA  PHI
Bawiąc się dzisiaj nową wyszukiwarką pt  Wolfram Alpha (tylko angielski póki co ) z ciekawości wrzuciłem hasło  'golden ratio"

Wśród wielu wyników otrzymałem również taki ;
phi = -2 sin(666 deg )
phi = -2 cos(6 6 6 deg )

a tutaj pozostale wyniki http://www.wolframalpha.com/input/?i=golden+ratio

Wybrałem te dwa, bo w oczywisty sposób się kojarzą .
I któż to twierdzi ,że trzy szóstki to symbol S. ?
Któż to potępia trzy szóstki i umieszcza je w strefie pod nazwą GRZECH ?

No cóź, niektóre Instytucje mają się czego bać. Powszechnośc prawdziwej  wiedzy im nie na rękę .
Stąd mój ostrożny wniosek, że Instytucja o której myślę od dawna dobrze zna golden ratio. Wykorzystuje tę potęgę dla siebie. To działa bo przecież miliony ludzi WIERZY i oddaje swoją energię przed ołtarzami na całym świecie .


Rozwinięcie

Trzy szóstki były od zawsze wyobrażeniem zła i grzechu. Były czymś, od czego należy się trzymać z daleka. Mówi się, ze to symbol szatana. W swojej symbolice przypominają zakazane drzewo dobrych i złych wiadomości. Nassim Haramein często wspomina PHI , golden ratio, powołuje się na nią jako na fundamentalną harmoniczność dostępną we wszechświecie.
Gdy człowiek dostroi się do tej harmonii , gdy zacznie nią żyć to cały jego potencjał niepomiernie wzrośnie, gdyż - pozostając w rezonansie z całym wszechświatem -  będzie przezeń wzmacniany.
Jednak trzy szóstki same w sobie nie są niczym złym. To są neutralne liczby. Niczym narzędzia. Można za ich pomocą tak jak za pomocą młotka - coś zbudować, albo zabić. W każdym razie dostęp do wiedzy był ludziom od wieków wzbraniany , ukazywany jako coś złego, co im może w głowach namieszać . Poniekąd to prawda, ale tylko wtedy, gdy wiedza nie idzie w parze z rozwojem duchowym. Spójrz na świątynie , na ich geometrię . Można się tylko domyślać ile razy zastosowano tam trygonometryczną postać liczby 666
phi = -2 sin(666 deg )
phi = -2 cos(6 6 6 deg )
Kształty świątyń nie przez przypadek są tak zaprojektowane , aby PRZYCIĄGAĆ ludzi i wprawiać ich w stan uniesienia. W tym stanie bowiem łatwiej uwolnić energię z człowieka. I łatwo ją przejąć jeśli się wie jak. Uważam, że oni to dobrze wiedzą.
Jezus nie kazał budować świątyń. Przeciwnie, chciał je burzyć. Nauczał pod gołym niebem - świątynią świątyń. Ale oni wykorzystali Go do własnych celów i powiesili na krzyżu w świątyniach z kamienia...

Offline Leszek

  • Administrator
  • Ekspert
  • *****
  • Wiadomości: 1759
    • Status GG
    • Zobacz profil
    • swietageometria.info
    • Email
Odp: 3. Podstawowe pojęcia
« Odpowiedź #20 dnia: Listopad 11, 2010, 17:29:35 »
FRAKTAL MANDELBROTA
<a href="http://www.youtube.com/watch?v=G_GBwuYuOOs" target="_blank">http://www.youtube.com/watch?v=G_GBwuYuOOs</a>

Offline jolkaz

  • Aktywny użytkownik
  • ***
  • Wiadomości: 74
    • Zobacz profil
Odp: 3. Podstawowe pojęcia
« Odpowiedź #21 dnia: Listopad 29, 2010, 12:22:35 »


ORIN

...Gra toczy się w wielu wymiarach i na różnych poziomach świadomości. Są zaangażowane w nią siły stojące niemal u kresu doskonałości. Dla człowieka już samo uczestnictwo w tej grze oznacza awans. Na szczęście siły opiekujące się ludzką rasą mają cele zbieżne z naszymi. Oczy całego wszechświata są teraz zwrócone na Ziemię. W ostatnim czasie dokonał się przełom w rozumieniu zasad gry i nawet nasi przeciwnicy odstępują od swoich idei i przez człowieka usiłują wzmocnić własną świadomość...


ORIN jest częścią składową rozszerzania świadomości i wymaga nieco pełniejszego rozwinięcia tematu:ORIN jest już dokładnie przebadany radiestezyjnie. Jest w tej chwili najsilniej promieniującym znakiem na świecie. Ustępuje mu nawet piramida i krzyż egipski. Zmienia on całą charakterystykę ludzkich ciał subtelnych, a działa jak doskonały program, gdyż jego oddziaływanie dopasowuje się do stale zmieniającej się charakterystyki ciał energetycznych i duchowych. Jako jeden z nielicznych znaków na świecie na każdą osobę oddziaływuje inaczej, dokładnie dopasowując się do jej chwilowej wibracji energetycznej i duchowego poziomu.


Uwaga! Orin jest artefaktem, w którego proporcjach należy zachować skalę! Jeżeli rysują go panstwo, bądz pragną wydrukować z powyższego linka (grafiki), to należy pamiętać o nastepujących proporcjach:

- ORIN osobisty - tzn. Orin bez okręgu powinien mieć długość podstawy równą wielokrotności liczby 2. I tak najniższa podstawa moze mieć 8cm, a gdy chcemy mieć osobisty artefakt o silniejszym działaniu, to jego podstawa winna mieć 16cm, lub kolejno 32cm (a nie np. 10cm czy 13cm) itd.

Proszę nie zapomnieć, że im wieksza podstawa, tym większe działanie artefaktu.

ORIN generalny - tzn. Orin wpisany w okrąg (przedstawiony wyżej). W przypadku tego artefaktu logika naszego działania jest podobna. Z tą różnicą, że wielokrotność liczby 2 dotyczy SREDNICY, a nie podstawny samego symbolu.

Link  http://popko.pl/index.php?id=artykul&nr=7
« Ostatnia zmiana: Listopad 29, 2010, 12:31:01 wysłana przez Leszek »

Offline jolkaz

  • Aktywny użytkownik
  • ***
  • Wiadomości: 74
    • Zobacz profil
Odp: 3. Podstawowe pojęcia
« Odpowiedź #22 dnia: Grudzień 09, 2010, 12:22:02 »
Znalazłam opis orinu ,któy wyjaśnia istotę działania

 Orin sam z siebie blokuje matrycę. Orin wygasza emocje i daje czas na rozważne pokierowanie naszymi działaniami. Nerwowość, lęki i fobie, niepewność i zagubienie, wszystkie negatywne czynniki, jakie plączą nam rozum, zostają stłumione lub wyeliminowane.

http://popko.pl/wiedza/orin.html-tutaj dokładny opis

Myślę że warto go mieć ja odrysowałam i działa -super polecam wszystkim dla równowagi emocjonalnej

buziaczki :-)

« Ostatnia zmiana: Kwiecień 30, 2014, 15:30:28 wysłana przez Leszek »

Offline Leszek

  • Administrator
  • Ekspert
  • *****
  • Wiadomości: 1759
    • Status GG
    • Zobacz profil
    • swietageometria.info
    • Email
Odp: 3. Podstawowe pojęcia - bryły platońskie i liczba 9
« Odpowiedź #23 dnia: Kwiecień 29, 2012, 00:03:34 »
Bryły platońskie i liczba 9

http://swietageometria.info/s/di-TY8B.jpg
3. Podstawowe pojęcia


Kilka komentarzy z facebooka
http://swietageometria.info/s/di-CCY1.jpg
3. Podstawowe pojęcia

Źródło:
http://www.facebook.com/photo.php?fbid=10150677856749455&set=a.10150586765084455.403699.546024454&type=3&theater


Zamieszczone w poniższej tabeli sumy kątów wyliczył Buckminster Fuller, sugerując, że istnieje wewnętrzny związek pomiędzy poszczególnymi przedstawionymi w niej figurami (głównie bryłami platońskimi) Związek ten widać jeszcze wyraźniej, gdy sumy kątów poddamy redukcji numerologicznej*
http://swietageometria.info/s/di-8TEM.gif
3. Podstawowe pojęcia


* Redukcja numerologiczna "jest to technika, wymyślona przez Pitagorasa, dzięki której każdą liczbę możemy przedstawić przy pomocy jednej cyfry. Metoda polega na sumowaniu cyfr, z których składa się liczba, do momentu otrzymania pojedynczej cyfry."
np.     64=6+4=10=1+0=1
np.   128=1+2+8=11=1+1=2
np. 4069=4+0+6+9=19=1+9=10=1+0=1

Pitagoras oparł swój system numerologiczny na cyfrach od 1 do 9, ponieważ wszystkie liczby powyżej 9 dało się zredukować cyfr podstawowych - od 1 do 9. Redukcja taka wykorzystywana jest przez współczesnych numerologów.
Źródło: http://swietageometria.info/podstawowe-pojecia?start=3


 
« Ostatnia zmiana: Kwiecień 29, 2012, 12:23:58 wysłana przez Leszek »

Offline Leszek

  • Administrator
  • Ekspert
  • *****
  • Wiadomości: 1759
    • Status GG
    • Zobacz profil
    • swietageometria.info
    • Email
Odp: 3. Podstawowe pojęcia - animacje
« Odpowiedź #24 dnia: Kwiecień 29, 2012, 12:41:08 »
Kilka ciekawych animacji.

   Sacred Geometry: The Vesica Piscis                                            Sacred Geometry and The Phi Ratio
<a href="http://www.youtube.com/watch?v=_J-028j2A6g" target="_blank">http://www.youtube.com/watch?v=_J-028j2A6g</a> <a href="http://www.youtube.com/watch?v=H2khI8284DM" target="_blank">http://www.youtube.com/watch?v=H2khI8284DM</a>

   Sacred Geometry: Nesting Dodeca / Icosahedrons
<a href="http://www.youtube.com/watch?v=CVwe0H0i8Vk" target="_blank">http://www.youtube.com/watch?v=CVwe0H0i8Vk</a>


« Ostatnia zmiana: Kwiecień 29, 2012, 15:31:01 wysłana przez Leszek »

Offline Leszek

  • Administrator
  • Ekspert
  • *****
  • Wiadomości: 1759
    • Status GG
    • Zobacz profil
    • swietageometria.info
    • Email
Odp: 3. Podstawowe pojęcia - Vesica Piscis, Pierwiastek z 3 i galaktyka spiralna
« Odpowiedź #25 dnia: Kwiecień 29, 2012, 15:29:54 »
Vesica Piscis, Pierwiastek z 3 i galaktyka spiralna

W nawiązaniu do animacji "Sacred Geometry and The Phi Ratio" (z poprzedniego posta) oraz artykuliku pt. "Kwiat życia" http://swietageometria.info/podstawowe-pojecia?start=6 opisującego geometryczny model powstania świata, w którym podstawową rolę odgrywa Vesica Piscis obecna w symbolice chrześcijańskiej

i... wolnomularskiej ;)


chcę powiedzieć, że A/B NIE RÓWNA się 1,6180339... tylko 1,732, czyli pierwiastek z trzech i powstający prostokąt także także opiera się na pierwiastku z trzech.
Poniższa animacja jest więc poprawna, przy czym konstrukcja opiera się w pierwiastku z trzech ;)

P.S
Wyjściowy kwadrat wewnątrz Vesici nie jest w tej animacji potrzebny, aby narysować prostokąt. Wystarczy  przeprowadzić przez środki okręgów poziomą linię... co widać na animacji. Był jednak potrzebny autorowi dla potrzeb całego filmiku więc go zostawiłem.


[EDIT: Pisanie o złotym prostokącie było prowokacją, obliczoną na spostrzegawczość, ale ktoś mi wyperswadował takie żarty... Zamieszczam więc prawdziwą informację. Poprawne są proporcje pokazane na filmiku Geometry of life cz. 2/4]
<a href="http://www.youtube.com/watch?v=6oqwfjX9vkw" target="_blank">http://www.youtube.com/watch?v=6oqwfjX9vkw</a>
« Ostatnia zmiana: Kwiecień 29, 2012, 21:54:49 wysłana przez Leszek »

Offline Leszek

  • Administrator
  • Ekspert
  • *****
  • Wiadomości: 1759
    • Status GG
    • Zobacz profil
    • swietageometria.info
    • Email
Odp: 3. Podstawowe pojęcia
« Odpowiedź #26 dnia: Maj 26, 2013, 12:30:47 »
W maju 2013 r. pojawiła się nowa wersja kolorystyczna Gwiezdnej Matki (Star Mother) Dana Wintera.
W nowej Gwiezdnej Matce, w kolorze żółtym, wykonano elementy "przedłużające" niebieskie krawędzie dwuDZIESTOścianu (wyznaczające wierzchołki dwuNASTOścianu) oraz krawędzie dwuNASTOścianu.

Na poniższych ilustracjach Star Mother widoczna jest pod kątem ukazującym jej pięciokątną geometrię.  
Uwypukliłem tę geometrię, nanosząc kilka linii.





http://www.goldenmean.info/kit/

Budowa Star Mother: http://forum.swietageometria.info/index.php/topic,26.msg121.html#msg121
« Ostatnia zmiana: Maj 26, 2013, 16:07:35 wysłana przez Leszek »

Offline Leszek

  • Administrator
  • Ekspert
  • *****
  • Wiadomości: 1759
    • Status GG
    • Zobacz profil
    • swietageometria.info
    • Email
Odp: 3. Podstawowe pojęcia - Kwiat Życia
« Odpowiedź #27 dnia: Grudzień 21, 2013, 15:27:10 »
O Kwiecie Życia raz jeszcze....
<a href="http://www.youtube.com/watch?v=PYvKX5z2XfI" target="_blank">http://www.youtube.com/watch?v=PYvKX5z2XfI</a>

More:
http://swietageometria.info/podstawowe-pojecia?start=6
or:
http://forum.swietageometria.info/index.php/topic,26.msg105.html#msg105

Offline Leszek

  • Administrator
  • Ekspert
  • *****
  • Wiadomości: 1759
    • Status GG
    • Zobacz profil
    • swietageometria.info
    • Email
Odp: 3. Podstawowe pojęcia - Trójkąt prostokątny i liczba Fi
« Odpowiedź #28 dnia: Marzec 03, 2014, 09:48:30 »
Trójkąt prostokątny i liczba Fi


Trójkąt prostokątny - trójkąt, którego jeden z kątów wewnętrznych jest prosty. Dwa boki trójkąta wyznaczające ramiona kąta prostego nazywane są przyprostokątnymi, trzeci bok przeciwprostokątną.
Za: Wikipedia

http://swietageometria.info/s/di-16LU.gif
3. Podstawowe pojęcia

Liczbę Fi możemy wyliczyć z każdego trójkąta prostokątnego, którego jedna przyprostokątna jest o połowę krótsza od drugiej przyprostokątnej.

Aby to zrobić musimy wykonać trzy proste operacje:
1) przyjmując wybrane przez siebie długości przyprostokątnych, obliczamy długość przeciwprostokątnej posługując się twierdzeniem Pitagorasa (a2+b2=c2)
2) do otrzymanej długości przeciwprostokątnej dodajemy  długość krótszej przyprostokątnej
3) uzyskaną w ten sposób liczbę dzielimy przez długość dłuższej przyprostokątnej.

Przykład:
1) weźmy trójkąt prostokątny, w którym długość krótszej przyprostokątnej wynosi 1cm , a dłuższej 2cm
2) obliczmy długość przeciwprostokątnej ze wzoru a2+b2=c2
a2+ b2=c2
1cm2+ 2cm2=c2
1cm+ 4cm=5cm2

5cm2 (pięć centymetrów kwadratowych) to oczywiście nie jest długość przeciwprostokątnej, lecz powierzchnia kwadratu o boku równym przeciwprostokątnej "c". Chcąc obliczyć bok tego kwadratu, a tym samym długość naszej przeciwprostokątnej "c" musimy obliczyć pierwiastek z naszego c2=5cm2
Działanie to jest proste - tak jak bok kwadratu podniesiony do kwadratu daje powierzchnię kwadratu, tak pierwiastek z liczby oznaczającej powierzchnię kwadratu daje nam długość boku tego kwadratu.

Tak więc:
√5 = 2,2360679774997896964091736687313cm - długość przeciwprostokątnej trójkąta o bokach 1cm i 2cm

Teraz do przeciwprostokątnej dodajemy długość krótszej przyprostokątnej:
2,2360679774997896964091736687313cm + 1cm = 3,2360679774997896964091736687313cm
http://swietageometria.info/s/di-5B6J.png
3. Podstawowe pojęcia

i uzyskaną liczbę dzielimy przez długość dłuższej przyprostokątnej, w naszym przypadku = 2

3,2360679774997896964091736687313cm / 2cm = 1,6180339887498948482045868343656cm

Otrzymujemy liczbę Fi = 1,6180339887498948482045868343656cm
 


Sprawdzamy
Pisaliśmy, że liczbę Fi możemy odnaleźć w KAŻDYM trójkącie prostokątnym, którego jedna przyprostokątna jest o połowę krótsza od drugiej przyprostokątnej. Sprawdźmy tę prawidłowość dla prostokąta o przyprostokątnych równych 3cm i 6cm.

a^2+b^2=c2
3cm2+6cm2=c2
9cm+36cm=45cm2
√45 = 6,7082039324993690892275210061938cm

Do przeciwprostokątnej dodajemy długość krótszej przyprostokątnej:
6,7082039324993690892275210061938cm + 3cm = 9,7082039324993690892275210061938cm

uzyskaną liczbę dzielimy przez długość dłuższej przyprostokątnej:
9,7082039324993690892275210061938cm / 6cm = 1,6180339887498948482045868343656cm

Otrzymujemy liczbę Fi = 1,6180339887498948482045868343656cm

Dałem tyle liczb po przecinku, na ile pozwolił mi kalkulator... ;)
 
* * * * *

Powyższe wyliczenia sugerują związek twierdzenia Pitagorasa z liczbą Fi (złotym podziałem) i być może dlatego Johannes Kepler (1571–1630) zwykł mawiać:

Geometria ma dwa wielkie skarby: jeden z nich to Twierdzenie Pitagorasa,
drugi – podział odcinka w stosunku średnim i skrajnym.
Pierwszy możemy porównać do miary złota,
drugi możemy nazwać drogocennym klejnotem.

.
Źródło cytatu


« Ostatnia zmiana: Marzec 04, 2014, 21:24:49 wysłana przez Leszek »

Offline SasQ

  • Collegium Invisible
  • Zaawansowany użytkownik
  • *
  • Wiadomości: 285
  • Płeć: Mężczyzna
  • Quanta rhei... :-)
    • Jabber/AQQ
    • Zobacz profil
    • Naukowy kącik kwantowy
    • Email
Odp: 3. Podstawowe pojęcia
« Odpowiedź #29 dnia: Marzec 04, 2014, 21:53:37 »
Liczbę Fi możemy wyliczyć z każdego trójkąta prostokątnego, którego jedna przyprostokątna jest o połowę krótsza od drugiej przyprostokątnej.

Zgadza się. Jest tak dlatego, że przekątna prostokąta o wymiarach 2x1 ma długość równą pierwiastkowi z 5 (będę go zapisywał root(5)). A pierwiastek z 5 jest częścią składową złotej liczby Fi (dodaje się połowę pierwiastka z 5 i połowę jedności).

obliczamy długość przeciwprostokątnej posługując się twierdzeniem Pitagorasa (a2+b2=c2)

Możemy też pójść na skróty, korzystając ze spirali trygonometrycznej Teorodosa ;)

http://swietageometria.info/s/di-HGI4.png
3. Podstawowe pojęcia

http://nauka.mistu.info/
Zawiera ona wszystkie kolejne pierwiastki z liczb naturalnych jako promienie. Każdy taki promień robi za przyprostokątną trójkąta prostokątnego i służy do obliczenia następnej przeciwprostokątnej w kolejce (drugą z przyprostokątnych jest zawsze jedynka), poczynając od 1.

Nasz pierwiastek z 5 możemy znaleźć tuż obok pierwiastka z 4 (czyli 2). Można uznać tę dwójkę za jeden z boków prostokąta, a drugi bok to jedynka, i wtedy pierwiastek z 5 jest jego przekątną.

do otrzymanej długości przeciwprostokątnej dodajemy długość krótszej przyprostokątnej

Co oznacza, że do pierwiastka z 5 dodajemy 1. Razem mamy root(5) + 1. Brakuje już tylko podzielić przez 2 ;) I w tym celu można skorzystać z drugiej przyprostokątnej, która jest dwójką:

uzyskaną w ten sposób liczbę dzielimy przez długość dłuższej przyprostokątnej.

Tak. I w ten sposób dostaliśmy ( root(5) + 1 ) / 2, czyli wzór na złotą liczbę Fi :)

Dałem tyle liczb po przecinku, na ile pozwolił mi kalkulator... ;)

Niepotrzebnie, bo choćbyś podał ich pierdyliardy, to i tak nadal nie byłaby to dokładnie liczba Fi, tylko jakieś jej przybliżenie ;) Wystarczyło jednak podać wzór algebraiczny, który jest zawsze dokładny, i można sobie z niego wyliczać liczbę Fi do dowolnej ilości miejsc po przecinku  <dens. Matematykowi taki wzór wystarcza za dowód.

W sumie mógłbym nawet przeprowadzić dowód formalny dla Twojego twierdzenia ;) Oto on:

Niech a będzie najkrótszą przyprostokątną (dowolnie wybraną). Posłuży nam za jednostkę.
Bok b jest dwa razy dłuższy od boku a, więc zapiszmy go 2a.
Obliczamy przeciwprostokątną c z Twierdzenia Pitagorasa:
c2 = a2 + b2
c2 = a2 + (2a)2
c2 = a2 + 4 a2
c2 = 5 a2
c = root(5 a2)
c = root(5) root(a2)
c = root(5) a
Teraz dodajmy do przeciwprostokątnej krótszą przyprostokątną, czyli nasze a:
c + a = root(5) a + a
Po prawej stronie równania a jest wspólnym czynnikiem, więc możemy go wyciągnąć poza nawias:
c + a = (root(5) + 1) a
Jeśli podzielimy przez bok b (czyli, pamiętajmy, 2a), to otrzymamy:
(c + a)/b = (root(5) + 1) a / b
(c + a)/b = (root(5) + 1) a / (2a)
Licznik i mianownik mają wspólny czynnik: a. Możemy go skrócić, i zostaje nam jedynie:
(c + a)/b = (root(5) + 1) / 2
czyli złota proporcja jupi
(c + a)/b = Fi
Ponieważ naszą jednostkę a mogliśmy wybrać dowolnie, a druga z przyprostokątnych była jej dwukrotnością, otrzymamy złotą proporcję niezależnie od tego, jaką długość miał bok a. Tak więc jedyne, co się liczy, to stosunki boków, które będą wtedy następujące: 1 : 2 : root(5). Jeśli tylko boki są w takich stosunkach do siebie, otrzymamy:
(c + a)/b = Fi
Q.E.D. :slonko:

Sprawdzamy
Pisaliśmy, że liczbę Fi możemy odnaleźć w KAŻDYM trójkącie prostokątnym, którego jedna przyprostokątna jest o połowę krótsza od drugiej przyprostokątnej. Sprawdźmy tę prawidłowość dla prostokąta o przyprostokątnych równych 3cm i 6cm.

No to brawo, już sprawdziłeś dla dwóch. Do sprawdzenia zostało Ci jeszcze... nieskończenie wiele innych :czas:
Ale spoko, ja już powyżej sprawdziłem dla wszystkich :)

Powyższe wyliczenia sugerują związek twierdzenia Pitagorasa z liczbą Fi (złotym podziałem)

Na tej zasadzie to moja data urodzenia też ma związek z twierdzeniem Pitagorasa ;-J oraz z pierwiastkiem z 17 (liczby pierwszej). Bo jeśli wstawimy mój miesiąc i dzień urodzenia jako przyprostokątne, wyjdzie pierwiastek z 17 :tort: (P.S.: Kto zgadnie kiedy mam urodziny? ;-J)

i być może dlatego Johannes Kepler (1571–1630) zwykł mawiać:

Geometria ma dwa wielkie skarby: jeden z nich to Twierdzenie Pitagorasa,
drugi – podział odcinka w stosunku średnim i skrajnym.
Pierwszy możemy porównać do miary złota,
drugi możemy nazwać drogocennym klejnotem.

.
Źródło cytatu

Myślę, że Kepler mógł raczej mieć na myśli coś innego; coś, co faktycznie łączy w sobie Twierdzenie Pitagorasa i złotą proporcję w dość intrygujący sposób :> Tak zwany Trójkąt Keplera. Twoje zabawy z trójkątem prostokątnym są początkiem drogi, która wiedzie do Trójkąta Keplera, więc może rozwinę nieco ten temat ;) Poniżej przedstawiam animację pokazującą jak skonstruować Trójkąt Keplera:

http://swietageometria.info/s/di-4IKZ.gif
3. Podstawowe pojęcia

(kliknij by powiększyć; niestety forum pomniejsza mi te obrazki i rozmywa ;-P)

Parę słów wyjaśnienia:
Zaczynam od prostokąta 2x1. Chcę poznać długość jego przekątnej.
Możemy to zrobić ze spirali Teorodosa, albo z Twierdzenia Pitagorasa. Żeby było podobnie, jak u Ciebie, skorzystałem z tej drugiej metody.
Pola kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych to 1 i 4. Razem dają pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej, czyli 5.
To znaczy, że bok tego kwadratu (nasza przekątna) jest pierwiastkiem z 5.
Następnie dzielę ją na pół, a także pozostałe boki prostokąta.

Teraz mam dwukrotnie mniejszy prostokąt o bokach 1/2 i 1, i przekątnej równej root(5)/2.
Przekręcam tę przekątną do pionu (np. odmierzając za pomocą cyrkla i zakreślając łuk).
Ponieważ tuż pod nią znajduje się połówka boku prostokąta, 1/2, razem dają root(5)/2 + 1/2, albo ( root(5) + 1 ) / 2, czyli wzór złotej liczby Fi.

Opcjonalnie:
Dla hecy znajdźmy jeszcze małe fi, czyli odwrotność dużego Fi :oczko:
Można to zrobić rysując trójkąt prostokątny wewnątrz półkola. Wtedy jednostka podzieli duży trójkąt prostokątny na dwa mniejsze, które będą podobne do niego (będą miały te same kąty i stosunki boków). Możemy więc przyrównać odpowiadające sobie boki, by poznać brakujący bok x:
x/1 = 1/Fi     (ponieważ stosunki odpowiadających sobie boków w trójkątach podobnych muszą być jednakowe).
x = 1/Fi
x = fi   (ponieważ odwrotnością dużego Fi jest małe fi).
Z tego rysunku wynika, że jedność jest średnią geometryczną między dużym Fi a małym fi, ponieważ tworzy z nimi proporcję ciągłą (geometryczną):
fi : 1 : Fi

OK, jedziemy dalej.
Biorę moją złotą liczbę Fi (zielononiebieski odcinek na obrazku) i przekręcam znowu, aż do spotkania z kolejną pionową linią oddaloną o 1. W ten sposób liczba Fi staje się przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego, którego przyprostokątną jest 1.
Ten trójkąt to właśnie TRÓJKĄT KEPLERA  8*)

Jaka jest długość pozostałej przyprostokątnej?
Ano spróbujmy znowu użyć Twierdzenia Pitagorasa (jak radził sam Kepler w tym cytacie).
Kwadrat zbudowany na boku jednostkowym sam jest jednostkowy (ma pole równe 1).
Kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej (o długości Fi) ma pole Fi2.
Jak poznać pole trzeciego kwadratu?
Złota liczba Fi ma taką ciekawą właściwość, że gdy dodamy do niej jedynkę, otrzymujemy jej kwadrat:
Fi + 1 = Fi2
Stąd wynika, że brakujący kwadrat ma pole równe złotej liczbie Fi :)
Skoro tak, to bok tego kwadratu (nasza druga przyprostokątna) będzie pierwiastkiem z Fi :)

Tak oto otrzymujemy wyjątkowy trójkąt prostokątny, który ukazuje wyjątkowy związek Twierdzenia Pitagorasa ze złotą liczbą Fi :zdziwko:
To jedyny taki trójkąt prostokątny, w którym pola kwadratów są do siebie w złotych stosunkach: Fi2 : Fi : 1, jak również złota liczba Fi pojawia się jako jego przeciwprostokątna, oraz jej pierwiastek jako przyprostokątna. Pozostała przyprostokątna ma długość równą jedności.
Jest to też jedyny taki trójkąt prostokątny, w którym funkcje trygonometryczne poszczególnych kątów są sobie równe:
cos(β) = tan(β)  =  sin(α) = cot(α)  =  1/root(Fi) = root(fi)
Można to fajnie zobaczyć, gdy się wrzuci wszystkie te funkcje trygonometryczne na jeden wykres i sprawdzi, gdzie się przecinają:

http://swietageometria.info/s/di-1K64.png
3. Podstawowe pojęcia

A żeby było jeszcze ciekawiej: ten trójkąt występuje w przekroju Wielkiej Piramidy w Giza w Egipcie, pozwala obliczyć stosunki średnic Ziemi i Księżyca, oraz całkiem niezłe przybliżenie kwadratury koła ;)


Zaiste prawdziwy klejnot matematyki  8*)
« Ostatnia zmiana: Kwiecień 07, 2014, 11:01:21 wysłana przez Leszek »
Naukowy kącik kwantowy Saska:  http://nauka.mistu.info/  :-)
Ostatnio dodane artykuły: Splątanie kwantowe rozplątane

Offline Lady F

  • Zaawansowany użytkownik
  • ****
  • Wiadomości: 282
  • Merlin
    • Zobacz profil
Odp: 3. Podstawowe pojęcia
« Odpowiedź #30 dnia: Marzec 06, 2014, 11:59:15 »
Po przeczytaniu postu Leszka, zaczelam zastanawiac sie nad trescia i narysowalam taki trojkat, aby sprawdzic ile wynasza w nim katy alfa i beta, bo w takiej proporcji zawsze beda stale. I po skonstruowaniu takiego trojkata, w ktorym jedna przyprostokatna jest dwa razy dluzsza od drugiej, wymierzylam kilkoma (!) katomierzami alfe i bete. Wyszlo mi jeden 64° a drugi 26°.

Posluzylam sie kalkulatorkiem (niestety tylko  ;) 9 miejsc po przecinku), aby sprawdzic co maszynka mi odpowie na pytanie ile wynosi tg 26° i tg 64°.
Odpowiedz blyskawiczna - tg 26° = 0,487732588,  a tg 64° = 2,050303842.

W tym momencie zrenice rozszerzyly sie u mnie, bo z definicji szkolnej funkcji trygonometrycznych na podstawie trojkata Pitagorasa tg alfa i beta wynosilby odpowiednio 2 lub 1/2.

Zastanowilo mnie to niezmiernie, i sklonilo do wysnucia wniosku, ze obliczanie funkcji tangensa nie dotyczy konstrukcji dwu-wymiarowych.

Offline SasQ

  • Collegium Invisible
  • Zaawansowany użytkownik
  • *
  • Wiadomości: 285
  • Płeć: Mężczyzna
  • Quanta rhei... :-)
    • Jabber/AQQ
    • Zobacz profil
    • Naukowy kącik kwantowy
    • Email
Odp: 3. Podstawowe pojęcia
« Odpowiedź #31 dnia: Marzec 06, 2014, 13:43:53 »
Po pierwsze, kątomierz ma ograniczoną dokładność. Nie zmierzysz nim kąta dokładniej, niż 1 stopień, bo co tyle są kreski na podziałce, a faktyczne kąty w tym trójkącie leżą gdzieś pomiędzy tymi kreskami; mieszczą się w granicach 63..64 stopnie oraz 26..27 stopni. Taka dokładność jest niestety niewystarczająca do udowodnienia czegokolwiek. Tego nie udowadnia się pomiarami, tylko algebraicznie. Niestety obawiam się, że żaden kątomierz, choćby nie wiem jak dokładny, nam tutaj nie pomoże, bo oba te kąty są niewymierne: cyfry po przecinku ciągną się bez końca i nie powtarza się w nich żaden wzorzec.

Po drugie, zabrałaś się do tego "od dupy strony" ;) Przecież znasz proporcje boków, a chcesz poznać kąt, a nie na odwrót. Więc zamiast liczyć tangens, powinnaś raczej policzyć jego odwrotność: arcus tangens, który podaje Ci kąt, gdy podasz mu stosunek przyprostokątnych. Innymi słowy, rozwiązać równanie dla nieznanego kąta k. Wiemy, że:
      tan k  =  2/1
bierzemy arcus tangens obu stron równania, by skasować tangens po lewej stronie:
      arctan(tan k) = arctan(2)
      k = arctan(2)
Według mojego kalkulatora, ten kąt to około 63.43494882... stopni, lub 1.107148718... radiana.
Ten drugi obliczasz podobnie, tylko zamiast dwójki wstawiasz połówkę:
      k = arctan(1/2)
i kalkulator mówi, że ten kąt to około 26.56505118... stopni lub 0.463647609... radiana.
Więc na pewno nie są to kąty równe 64 i 26.
Kąty 64 i 26 z kolei wyjdą dla boków w zupełnie innym stosunku: jeden z nich będzie nieco dłuższy od 2 (jak słusznie policzyłaś: tan 64° = 2,050303842... > 2/1), lub ten drugi nieco krótszy od połowy pierwszego (tan 26° = 0,487732588... < 1/2).

W tym momencie zrenice rozszerzyly sie u mnie, bo z definicji szkolnej funkcji trygonometrycznych na podstawie trojkata Pitagorasa tg alfa i beta wynosilby odpowiednio 2 lub 1/2.

Tylko jeśli kąty byłyby właściwe ;) Nieco inne, niż 26 i 64.
Jeśli jednak uprzesz się przy takich kątach, to odpowiednio boki muszą być inne, niż 2 : 1.

Zastanowilo mnie to niezmiernie, i sklonilo do wysnucia wniosku, ze obliczanie funkcji tangensa nie dotyczy konstrukcji dwu-wymiarowych.

Dotyczy, tylko trzeba umieć się nimi poprawnie posługiwać ;)
Dlaczego miałoby nie dotyczyć, skoro właśnie w dwóch wymiarach te funkcje zostały zdefiniowane?

A jeśli masz jakieś wątpliwości co do tego, skąd kalkulator "wie" jake cyferki po przecinku mają te kąty (czyli jak kalkulator oblicza ten arcus tangens), to możesz zrobić to również sama:

Z rachunku różniczkowego wiemy, że funkcję arcus tangens można rozpisać jako bardzo prosty szereg potęgowy:

arctan(x)   =   x  -  x3/3  +  x5/5  -  x7/7  +  x9/9  -  x11/11  +  ...

czyli kolejne nieparzyste potęgi iksa (stosunku boków) dzielisz przez kolejne nieparzyste liczby, na przemian odejmując i dodając kolejne składniki. Żeby dostać wynik dokładny, musiałabyś dodać nieskończenie wiele takich składników, bo jest to szereg nieskończony. Ale jeśli wystarczy Ci przybliżenie (a zakładam, że tak, skoro używasz kalkulatora), to każdy kolejny składnik tej sumy poprawia dokładność wyniku, więc możesz dodać ich tak dużo, aż otrzymasz zadowalającą Cię liczbę miejsc po przecinku, i wtedy możesz przerwać ;) (bo kolejne składniki będą już coraz mniej poprawiać ten wynik, utwierdzając coraz dalsze cyfry po przecinku). Jeśli tylko ufasz dodawaniu, odejmowaniu, potęgowaniu i dzieleniu, to powyższe obliczenia dadzą Ci wartość kąta, przybliżoną do tylu miejsc po przecinku, ile potrzebujesz. (Dodam, że różnica już od 3 miejsca po przecinku jest zwykle nie do zauważenia na rysunkach odręcznych ;P ).

Aha, ważna uwaga: tak obliczony kąt jest wyrażony w radianach! Jeśli wolisz w stopniach, podziel wynik przez pi i pomnóż przez 180. No i szereg jest zbieżny tylko dla stosunków mniejszych od 1. Jeśli potrzebujesz większe, policz dla mniejszego i skorzystaj z symetrii ;)

Przykładowo tak wyglądają moje obliczenia tego kąta dla stosunku 1 : 2 tą metodą, dla kilku pierwszych składników (podstawiam 1/2 jako x i dodaję odpowiednią liczbę składników):

Składników:     Kąt przybliżony ułamkiem:        Kąt przybliżony dziesiętnie:
        1                              1 / 2                    =   0.5000000000000...
        2                            11 / 24                  =   0.4583333333333...
        3                          223 / 480                =   0.4645833333333...
        4                        6229 / 13440            =   0.4634672619047...
        5                      74783 / 161280          =   0.463684275793650...
        6                  3290137 / 7096320        =   0.46363988658910533...
        7              171090589 / 369008640    =   0.4636492766131438006...
        8              684359353 / 1476034560  =   0.463647242107935467310...
       ...

Jak widać, każdy kolejny składnik stabilizuje z grubsza kolejną cyferkę poprzecinku. Takie cyferki zaznaczam na niebiesko, gdy w następnym kroku nie uległa już zmianie (to dlatego, że każdy następny składnik doda już mniej, niż 1/10 poprzedniego wyniku, więc nie poprawi już tej cyferki). Okresową część rozwinięcia dziesiętnego podkreśliłem.

Według mojego kalkulatora dokładniejszy wynik byłby arctan(1/2) = 0.463647609... radiana. Jeśli podzielisz przez pi i pomnożysz przez 180, to dostaniesz wynik w stopniach: 26.56505118... stopni. Więc jak widać działa :)
« Ostatnia zmiana: Marzec 06, 2014, 14:07:21 wysłana przez SasQ »
Naukowy kącik kwantowy Saska:  http://nauka.mistu.info/  :-)
Ostatnio dodane artykuły: Splątanie kwantowe rozplątane

Offline Lady F

  • Zaawansowany użytkownik
  • ****
  • Wiadomości: 282
  • Merlin
    • Zobacz profil
Odp: 3. Podstawowe pojęcia
« Odpowiedź #32 dnia: Marzec 07, 2014, 09:57:11 »
SasQ -

Cytuj
zabrałaś się do tego "od dupy strony"
  :zdziwko:

Domyslalam sie, ze to cos takiego o czym napisales powyzej szczegolowo i bardzo rzeczowo, ale nie mam takiej wiedzy w temacie, aby to fachowo udokumentowac. Zrobiles to za mnie, bo byc moze byl to rodzaj kopa w d.... w ten sposob pobudzam oporniki do myslenia i aktywnosci ruchowej :taaak:

A wiec funkcja arcus tangens nie pomyslalam, dzieki!  :papapa:




Offline Leszek

  • Administrator
  • Ekspert
  • *****
  • Wiadomości: 1759
    • Status GG
    • Zobacz profil
    • swietageometria.info
    • Email
Odp: 3. Podstawowe pojęcia
« Odpowiedź #33 dnia: Marzec 08, 2014, 10:19:35 »
SasQ, dobrze, że tu jesteś...
Jesteś takim "zbrojnym ramieniem matematyki" ;)
Badałeś związek twierdzenia Pitagorasa i trójkąta Keplera z Układem Słonecznym?

P.S
Zmykam na weekend jakby co.
Pamiętaj o kobiecej wrażliwości... ;)




Offline Lady F

  • Zaawansowany użytkownik
  • ****
  • Wiadomości: 282
  • Merlin
    • Zobacz profil
Odp: 3. Podstawowe pojęcia
« Odpowiedź #34 dnia: Marzec 09, 2014, 12:27:27 »
Ja tez ciesze sie, ze SasQ tu jest.
Tym razem zabieram sie do rzeczy od "przodka" strony ;)

SasQ -

Cytuj
Po pierwsze, kątomierz ma ograniczoną dokładność. Nie zmierzysz nim kąta dokładniej, niż 1 stopień, bo co tyle są kreski na podziałce, a faktyczne kąty w tym trójkącie leżą gdzieś pomiędzy tymi kreskami; mieszczą się w granicach 63..64 stopnie oraz 26..27 stopni. Taka dokładność jest niestety niewystarczająca do udowodnienia czegokolwiek. Tego nie udowadnia się pomiarami, tylko algebraicznie

Jakos nie dawalo mi to spokoju, ze za swietosc przyjmuje sie 90° i od tego wyznacza niby niewymierne katy alfa i beta. Zaczelam zastanawiac sie dlaczego? Bo przyroslismy do matematyki Pitagorejskiej chyba troche za sztywno.

Ucieszylam sie, gdy znalazlam pojecia takie jak geometria analityczna i syntetyczna.

"Przez sto lat z górą, licząc od wprowadzenia algebry do geometrii, metody algebraiczne i analityczne zdominowały geometrię do tego stopnia, że metoda syntetyczna, oparta na wnioskowaniu z aksjomatów, została w tym czasie niemal zupełnie zepchnięta w cień. Niektórzy posuwali się nawet do poglądu, że metoda syntetyczna pozostanie językiem martwym, bez znaczenia i bez wpływu. Jak bardzo się mylili, pokazał wiek XIX.

Odrodzenie metody syntetycznej miało kilka źródeł. Jednym z nich był postęp w badaniach Postulatu Równoległości (p. niżej), tu natomiast powiemy o innych. Niektórzy mianowicie krytykowali metody algebraiczne i analityczne, uważając je za obce geometrii. Mówili, że w geometrii analitycznej algebra dominuje do tego stopnia, iż można tę geometrię uważać za część algebry (w istocie, w XX wieku geometria analityczna została wchłonięta przez algebrę liniową), natomiast w geometrii różniczkowej otrzymuje się wprawdzie godne uwagi rezultaty, jednakże metody analizy matematycznej nie pozwalają na jasne uchwycenie związku między punktem wyjścia a końcowym rezultatem, podczas gdy geometria wymaga prostych i intuicyjnie oczywistych dowodów. Podnosili też argument, że geometria jest prawdziwą nauką o przestrzeni, natomiast metody analizy nie mają solidnych podstaw, są więc niekompletne, a nawet logicznie wątpliwe. Przykładem ostrości tych polemik jest list Steinera (wybitnego geometry syntetycznego) do redakcji czasopisma Journal für Mathematik, że jeśli jego redaktor Crelle będzie w nim nadal publikował prace Plückera (wybitnego geometry analitycznego), to on przestanie przysyłać własne.

W duchu syntetycznym odrodziła się geometria rzutowa. Wyrosła z badań nad perspektywą malarską, miała za sobą krótki okres rozwoju w XVII wieku dzięki pracom Desarguesa i Pascala. Gerard Desargues (1591-1661) był oficerem, inżynierem i architektem, który w ramach swoich zainteresowań matematycznych podjął problem perspektywy malarskiej i sformułował szereg pojęć, które nadały mu znaczenie matematyczne. Blaise Pascal (1623-1662) te koncepcje podchwycił i dodał parę własnych twierdzeń. Prace obu zostały jednak rychło zapomniane (matematyka żyje tylko wtedy, gdy ktoś ją zna i rozwija) i geometrzy XIX-wieczni tworzyli podstawy geometrii rzutowej na nowo [Bibliografia]. Wybitnym geometrą był G. Monge (1746-1818) i odrodzenie geometrii rzutowej było dziełem jego uczniów. Pierwszy był L.N.M. Carnot (1753-1823), którego idee podjęli F.J. Servois i C.J. Brianchon (1788-1867), największy jednak bodziec dał J.V. Poncelet (1788-1867). Był to oficer armii napoleońskiej, który dwa lata spędzone w rosyjskiej niewoli w Saratowie poświęcił na rekonstrukcję z pamięci tego wszystkiego, czego się nauczył od Monge’a i Carnota, po czym zaczął te idee samodzielnie rozwijać. Wiodącym motywem jego głównego dzieła [Bibliografia] było poszukiwanie takich własności, które nie ulegają zmianie przy rzutowaniu, czyli niezmienników geometrii rzutowej. Pierwszy zrozumiał, że geometria rzutowa stanowi odrębną gałąź geometrii (i matematyki), mającą własne cele i metody, a w konsekwencji także specyficzne niezmienniki.

Dalszy rozwój geometrii rzutowej był dziełem geometrów niemieckich. Jako pierwszy idee Francuzów podjął J. Steiner (1796-1863), którego myślą przewodnią było budowanie złożonych struktur w oparciu o proste, np. stożkowe definiował jako miejsca przecięcia dwóch „rzutowo” powiązanych pęków prostych [Bibliografia]. W swoich badaniach zaszedł daleko, m.in. posługiwał się zasadą dualności. Od posługiwania się euklidesowym pojęciem długości, które oczywiście nie jest niezmiennikiem rzutowym, uwolnił geometrię rzutową K.G.C. von Staudt (1798-1867), sugerując jednocześnie, że geometria rzutowa jest bardziej pierwotna od geometrii euklidesowej [Bibliografia]. Ściśle to wykazał nieco później F. Klein (p. niżej)."

zrodlo: http://jaszczur.czn.uj.edu.pl/mod/book/view.php?id=1896&chapterid=10976

A stary poczciwy katomierz doprowadzil mnie do takiego wnioskowania : (za wiki)

http://swietageometria.info/s/di-A6JR.gif
3. Podstawowe pojęcia


Jednostki trygonometryczne (a moze wlasciwiej byby nazwac goniometryczne) ukazuje jedna o nazwie sec.

Czyzby tylko o secans chodzilo? A moze o jednostke, ktora my uznajemy jako miare "czasu"?

"Droga przebyta przez światło w czasie 1 sek , nie zależy od jednostek długości przyjętej przez obserwatora. Jest ona bowiem taka sama teraz, jak była przed tysiącami lat i taka będzie za kolejne tysiące lat. Zatem drogę przebytą przez światło, możemy uznać jako wzorzec (miarę długości)."

Polecam ciekawe zrodlo: https://aleksanderkosowski.wordpress.com/tag/trojkat-pitagorejski/

Waznym pojeciem jest radian, nie tylko w matematyce, lecz glownie w przekazie energii i informacji.

http://swietageometria.info/s/di-NVE0.gif
3. Podstawowe pojęcia


http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/67/2pi-unrolled.gif
3. Podstawowe pojęcia


Prawidlowa interpretacje figur planimetrycznych mozna uzyskac jedynie przy wprowadzeniu terminu wektory.

zrodlo: http://kielich.amu.edu.pl/Stefan_Banach/pdf/mechanika/01-1.pdf

A pozniej juz droga otwarta do zrozumienia pojecia iloczynu skalarnego.

"Iloczyn skalarny – w matematyce pewna forma dwuliniowa na danej przestrzeni liniowej, tj. dwuargumentowa funkcja o szczególnych własnościach przyporządkowująca dwóm wektorom danej przestrzeni liniowej wartość skalarną. Czasami spotyka się również nazwę iloczyn wewnętrzny, który zwykle odnosi się jednak do ogólnych iloczynów skalarnych wprowadzanych w abstrakcyjnych przestrzeniach liniowych nazywanych wtedy przestrzeniami unitarnymi; przestrzenie afiniczne z wyróżnionym iloczynem skalarnym nazywa się przestrzeniami euklidesowymi.

Zasadniczym celem wprowadzania iloczynu skalarnego w danej przestrzeni liniowej jest wprowadzenie na niej geometrii euklidesowej, w szczególności kąta między dwoma wektorami, co umożliwia mówienie o ich prostopadłości (nazywanej w tym kontekście ich ortogonalnością, która jest nieznacznym uogólnieniem) oraz obrotu. Iloczyn skalarny stanowi więc pomost między geometrią syntetyczną a geometrią analityczną. Ponieważ trójwymiarowa przestrzeń euklidesowa jest dobrym przybliżeniem świata rzeczywistego w skali makroskopowej, to iloczyn skalarny w niej określony znajduje zastosowanie fizyce klasycznej, np. mechanice klasycznej (branie rzutów wektora siły wypadkowej jest tego przykładem); z kolei w mechanice kwantowej rozpatruje się (nieskończeniewymiarowe) przestrzenie Hilberta, czyli przestrzenie liniowe (nieskończonego wymiaru) z iloczynem skalarnym i dodatkową strukturą topologiczną (zob. Uogólnienia). Przykładowo praca mechaniczna \scriptstyle W to wielkość fizyczna wyrażająca się jako iloczyn skalarny siły \scriptstyle \mathbf F oraz przemieszczenia \scriptstyle \mathbf r.


A wiec Wiki podaje jako baze przestrzen euklidesowa, ktora jest definiowana przez geometrie syntetyczna, o czym wspominalam na wstepie.



 


« Ostatnia zmiana: Kwiecień 07, 2014, 11:04:58 wysłana przez Leszek »

Offline SasQ

  • Collegium Invisible
  • Zaawansowany użytkownik
  • *
  • Wiadomości: 285
  • Płeć: Mężczyzna
  • Quanta rhei... :-)
    • Jabber/AQQ
    • Zobacz profil
    • Naukowy kącik kwantowy
    • Email
Odp: 3. Podstawowe pojęcia
« Odpowiedź #35 dnia: Marzec 09, 2014, 14:53:15 »
No fajnie nawrzucałaś sporo cytatów całych sporych fragmentów z różnych źródeł, tylko jakoś nie mogę dojść do tego, w jakim celu i jakie są Twoje wnioski z tego wszystkiego; do czego z tym wszystkim zmierzasz.

Jakos nie dawalo mi to spokoju, ze za swietosc przyjmuje sie 90°

Gdzie się przyjmuje za świętość?
Jeśli już, to przyjmuje się kąt prosty sam w sobie (niezależnie od miary), i nie za "świętość", tylko po prostu za dość szczególny kąt, który ma swoje specjalne i użyteczne właściwości. Już mówię dlaczego:

Jak pewnie wiesz, każde koło ma ten sam stosunek średnicy (linii prostej) do obwodu (szczególnej linii krzywej). Tym stosunkiem jest liczba pi, w każdym kole taka sama. Można ją uznać za stosunek między drogą z jednego końca koła na drugi "na wprost", a drogą "okrężną" po jednym z półkoli (oba są jednakowej długości, więc możesz sobie wybrać swoje ulubione ;)). Tak więc wiemy, że długość łuku półkola to pi.

Według "Elementów" Euklidesa, takie półkole nie tworzy jeszcze kąta, bo linia prosta się nigdzie nie załamuje. Ale gdy już ją złamiemy, powstanie narożnik (kąt), i będzie on miał jakąś miarę.

Istnieje wiele różnych kątów o różnej mierze, ale jeden z nich jest szczególny, bo po obu stronach linii, która go tworzy z inną linią, daje tę samą ilość przestrzeni; a z półkola odcina dwie równe części: dwa równe łuki o długości pi / 2. Ten kąt to właśnie jest kąt prosty. Gdy uzyskasz taki kąt, to linie tworzące ten kąt są do siebie prostopadłe. I na tym polega jego wyjątkowość.

Możesz sama intuicyjnie dojść do tego kąta: Wytnij sobie z papieru równe kółko i przetnij na pół. Teraz spróbuj przeciąć to półkole w taki sposób, by oba kawałki papieru były jednakowo duże. Jeśli zrobisz to w taki sposób, to pewnie zauważysz sama, że musisz go przeciąć pod kątem prostym, bo inaczej któraś z części będzie większa od drugiej.

Euklides w "Elementach" nie używał dla niego żadnej miary (w szczególności nie używał miary stopniowej, 90°), bo absolutne wartości kątów nie były mu do niczego potrzebne, gdyż używał geometrii w sposób "algebraiczny". Interesowały go jedynie zależności między kątami (np. czy dane dwa kąty są równe, czy może któryś z nich jest większy, a jeśli tak, to ile razy jeden jest większy od drugiego).

I w zasadzie wszystkie miary kątów, których używamy, opierają się na takim porównywaniu, bo każdy pomiar polega na porównaniu nieznanej wielkości z jakąś znaną, wzorcową (jednostką).

Np. w przypadku miary w radianach odmierzamy na obwodzie długość jednego promienia i to jest nasz wzorcowy kąt (1 radian). pi takich kątów mieści się na obwodzie jednego półkola (które, pamiętajmy, dla Greków było maksymalnie rozwartym kątem, tworzącym już linię prostą bez załamania).

Podobnie w przypadku miary stopniowej obwód koła został podzielony na 360 równych części. Jedna z nich to stopień, i wszystkie inne kąty są porównywane z nią: ile razy ten stopień mieści się w nieznanym kącie.

Co ciekawe, miara 360-stopniowa, którą znamy od Babilończyków, też wydaje się opierać na kącie prostym, który dzieli obwód koła na 4 równe części. Jeśli następnie wpiszemy w niego dwa trójkąty równoboczne, przeciwnie zorientowane (pierwiastek męski + żeński, tworzące razem Gwiazdę Dawida), i wyznaczymy w ten sposób wierzchołki sześciokąta, to podzielimy w ten sposób każdą ćwiartkę na jeszcze trzy części, co daje razem 12 równych części (patrz 12 godzin, 12 znaków Zodiaku na ekliptyce, 12 miesiący w roku itd.).
12 to liczba wszechstronna: ma więcej podzielników, niż każda liczba przed nią. Takie liczby świetnie się nadają na jednostki miar i wag, bo pozwalają na tworzenie wielu różnych kombinacji i wzorców (więcej niż inne liczby złożone mniejsze od nich).
Jeśli teraz dodamy pentagram, który dzieli obwód koła na 5 równych części, to uzyskamy 5*12=60 jako liczbę różnych możliwych kombinacji ułożenia tych dwóch figur (patrz 60 minut w godzinie i 60 sekund w minucie, oraz system sześćdziesiętny używany przez Babilończyków).
Stąd już niedaleko do 360=60*6 ;)

Warto też podkreślić, że wszystkie miary kątów można rozumieć jako odcinanie fragmentów łuku z obwodu koła. To przydatna informacja, bo ułatwia zrozumienie trygonometrii ;) w której wcale nie chodzi o trójkąty, tylko właśnie o koła, obroty i wirowanie. Babilończycy używali jej oryginalnie do mierzenia ruchów ciał niebieskich na sferze niebieskiej i wyznaczania odległości między nimi.

i od tego wyznacza niby niewymierne katy alfa i beta.

To, czy dany kąt będzie wymierny, czy niewymierny, nie zależy od niego samego, tylko od wyboru jednostki. Przykładowo jeśli użyjesz jednostki O, którą wymyśliłem sobie kiedyś na potrzeby obliczeń kątów w wielokątach foremnych, to wszystkie kąty w wielokątach foremnych będą wymierne ;) 1 O to jeden obwód koła. Kąt po obu stronach linii to O/2. Kąt prosty to O/4. Kąt w trójkącie równobocznym to O/3. W pięciokącie O/5. W sześciokącie O/6 itd. Tę jednostkę też dość łatwo przelicza się na radiany, zastępując O wartością obwodu koła, czyli 2 pi ;) Ale nawet dla tej wygodnej jednostki mogą istnieć kąty niewymierne, np. takie jak ten w prostokącie 2x1. Nie da się też uciec od przestępnej liczby pi, bo wyskoczy ona wtedy w zupełnie innym miejscu: gdy spróbujesz wyrazić kąt 1 radiana, bo skoro 2 pi takich kątów mieści się w jednym O, to ten kąt wynosi O / (2 pi).

Równie dobrze mogłabyś wybrać rozmiar kąta w trójkącie 2x1 jako swój kąt jednostkowy, nazwijmy go P (jak prostokąt). Wtedy różne jego wielokrotności i podwielokrotności będą liczbami całkowitymi i wymiernymi. Ale gdy spróbujesz nim odmierzyć inny kąt, który w mierze stopniowej był wymierny, w mierze prostokąta 2x1 wyjdzie niewymierny. Podobnie gdy spróbujesz nim odmierzyć kąt 1 radiana lub kąt w półkolu (spróbuj i przekonaj się sama!).

Ucieszylam sie, gdy znalazlam pojecia takie jak geometria analityczna i syntetyczna.

Pojęcia fajne, ale to są właśnie takie definicje "od dupy strony", czy jak kto woli "pchanie wozu przed koniem". Bo owszem, w geometrii analitycznej można bardzo łatwo powiedzieć, że linia jest prosta, podając określony wzór dla punktów leżących na tej linii: y = a x + b. Ale żeby to zrobić, potrzebujesz najpierw układu współrzędnych, by móc zlokalizować położenie tych punktów x i y i by zaznaczać w nim punkty wykresu czy innej figury o odmierzać długości jej boków i kąty. Jeśli jednak zastanowisz się, jak zbudować układ współrzędnych, to zauważysz, że nie da się tego zrobić bez użycia pojęć takich jak linia prosta czy kąt. I zaczynasz kręcić się w kółko, bo wychodzi na to, że aby zdefiniować linię prostą, to musisz już mieć definicję linii prostej! :P (żeby móc wyznaczyć osie układu współrzędnych).

Współczesnym matematykom może się wydawać, że są mądrzejsi od starożytnych, bo robią coś inaczej niż ta banda starych dziadków z przeszłości, że myślą "out of the box". Ale myślisz, że te stare dziadki z przeszłości nie rozważały już kiedyś tych samych problemów, o które dziś potykają się współcześni? Może to, że o nich nie pisali, wynika po prostu z faktu, że uznali je za ślepe uliczki? :P :J Obecnie mógłbym tak stwierdzić już o wielu wymysłach nowoczesnej matematyki, bo wiele z nich przeanalizowałem, i doszedłem do wniosku, że jednak stare dziadki z przeszłości są nie do pobicia ;) Trzeba tylko rozumieć, dlaczego zrobili coś tak, a nie inaczej.
Naukowy kącik kwantowy Saska:  http://nauka.mistu.info/  :-)
Ostatnio dodane artykuły: Splątanie kwantowe rozplątane

Offline Lady F

  • Zaawansowany użytkownik
  • ****
  • Wiadomości: 282
  • Merlin
    • Zobacz profil
Odp: 3. Podstawowe pojęcia
« Odpowiedź #36 dnia: Marzec 10, 2014, 09:55:33 »
SasQ -

Cytuj
No fajnie nawrzucałaś sporo cytatów całych sporych fragmentów z różnych źródeł, tylko jakoś nie mogę dojść do tego, w jakim celu i jakie są Twoje wnioski z tego wszystkiego; do czego z tym wszystkim zmierzasz.

Zauwazylam, ze wdarlo sie do teorii nauk scislych wiele niepoprawnych pojec, wiec analizuje sobie krok po kroczku, a jak zauwaze, ze cos "mi nie gra" to pytam glosno. Wykorzystuje te platforme forumowa, bo kiedys myslalam, ze skupia wlasnie pasjonatow nauk matematycznych i pokrewnych.

Jak wiesz interesuje sie pracami profesora K. Meyla dotyczacymi systemow komunikacyjnych i fal skalarnych. Spojrz powyzej na gif, ktory wstawilam, tam gdzie pojawiaja sie trzy koleczka i obracja w prawa strone. Czy nie rozpoznajesz w tym czegos "fizycznego"?  ;) Tak wlasnie dziala dipol. I tylko fale skalarne (poprzeczne) niosa informacje i energie, a pozostale (podluzne) sa tylko promieniowaniem (w wielkim skrocie).
Oczywiscie ogromna role odgrywa manipulacja fazy, dostrajanie, (oszukiwanie :nieeeee:) niestety...
Stad moje zainteresowanie miarami katowymi, i dzieki za piekny wyklad, wiele w tym racji, ale ja jednak (dzieki naukom Profesora Meyl'a) uwazam, ze nie ma linii prostej. Kiedys Lucyfer wstawial taki obracajacy sie "dekielek"  :D: chyba tez na potwierdzenie tego zalamania liniowego.
Idac jeszcze dalej i drazac doglebniej to to zalamanie wcale nie bedzie zakrecach i laczyc poczatek z koncem /poczatek i koniec to atrybuty wektora wlasnie/, lecz przejdzie w forme spiralna.

I wlasnie to mnie interesuje, a tu akurat Leszek pokazal ciekawy trojkat, wiec skusilam sie, aby przyjrzec sie temu z bliska. Zaskoczylo mnie, ze katomierz (choc niedokladnie moze) pokazal liczby 26 i 64, ktore w informatyce maja swoje "zaszczytne" ;) miejsce.

Pisalam powyzej, ze wlasciwie nalezy operowac wektorami, o tym wlasnie sa te zrodla (ktore nalezy uwaznie przeczytac) zwlaszcza o rzutowaniu.

http://www.if.pw.edu.pl/~bibliot/archiwum/adamczyk/WykLadyFO/FoWWW_02.html

"Iloczyn skalarny opisuje sposób w jaki oba wektory widzą siebie nawzajem, czyli jak długi cień rzuca każdy z wektorów na swojego partnera gdy kąt miedzy nimi wynosi φ"

//a o to fi chodzi wlasnie w trojkacie Keplera//  :oczko:







Offline Lucyfer

  • Administrator
  • Ekspert
  • *****
  • Wiadomości: 609
    • Zobacz profil
    • Email
Odp: 3. Podstawowe pojęcia
« Odpowiedź #37 dnia: Marzec 12, 2014, 12:12:37 »
Cytat: SasQ
Współczesnym matematykom może się wydawać, że są mądrzejsi od starożytnych, bo robią coś inaczej niż ta banda starych dziadków z przeszłości, że myślą "out of the box". Ale myślisz, że te stare dziadki z przeszłości nie rozważały już kiedyś tych samych problemów, o które dziś potykają się współcześni? Może to, że o nich nie pisali, wynika po prostu z faktu, że uznali je za ślepe uliczki? :P :J Obecnie mógłbym tak stwierdzić już o wielu wymysłach nowoczesnej matematyki, bo wiele z nich przeanalizowałem, i doszedłem do wniosku, że jednak stare dziadki z przeszłości są nie do pobicia Mrugnięcie Trzeba tylko rozumieć, dlaczego zrobili coś tak, a nie inaczej.

Aby uczcić starych dziadków :) przypominam że już za 2 dni możemy świętować " Dzień liczby PI"  :tort:

Datę 14 marca w notacji amerykańskiej zapisuje się jako 3.14, co kojarzy się z przybliżeniem liczby pi. Wiele amerykańskich szkół obchodzi wtedy święto matematyki tzw. Pi Day
Pierwsze obchody tego dnia miały miejsce w 1988 w muzeum nauki Exploratorium w San Francisco, z inicjatywy Larry'ego Shawa. W języku angielskim słowa pi oraz pie (ciasto, placek) mają zbliżoną wymowę, a placki często są okrągłe. Z tego powodu w Dniu Liczby Pi podawanymi daniami są pizza pie (placki pizzy), apple pie (szarlotka) i inne podobne ciasta.

Pi możemy świętować również 22 lipca


Liczba π (długość jednostkowego półokręgu lub pole jednostkowego koła) interesowała matematyków od dawna. Już w III wieku p.n.e. Archimedes oszacował jej wartość z dokładnością do 0.002, przybliżając obwód koła z góry i z dołu obwodami wpisanego weń i opisanego na nim 96-kąta foremnego. Jest on również wynalazcą słynnego wymiernego przybliżenia liczby π jako 22/7, co daje lepszą dokładność niż poprzednie przybliżenie i jest nie tylko najlepszym wśród ułamków o mianowniku nie większym od 7, ale wśród wszystkich dat rocznych w polskiej notacji (i rzecz jasna lepszym niż 3,14). To za sprawą tego właśnie przybliżenia liczba π nazywana była liczbą Archimedesa.

źródła:
http://www.matematyka.wroc.pl/doniesienia/miedzynarodowy-dzien-liczby-pi
http://pl.wikipedia.org/wiki/Dzie%C5%84_Liczby_Pi

Związek z Eneagramem

22/7≈3,142857...


Co może jeszcze w sobie skrywać ta tajemnicza struktura?  :mysl:

1) http://swietageometria.info/iu/di-SUTF.png
3. Podstawowe pojęcia


2) http://swietageometria.info/iu/di-EOSQ.png
3. Podstawowe pojęcia


Mi ukazały się dwa dynamiczne sześciokąty  >:D
Zapraszam do zabawy

« Ostatnia zmiana: Kwiecień 07, 2014, 11:07:24 wysłana przez Leszek »

Offline Leszek

  • Administrator
  • Ekspert
  • *****
  • Wiadomości: 1759
    • Status GG
    • Zobacz profil
    • swietageometria.info
    • Email
Odp: 3. Podstawowe pojęcia - FIbonacci, kompilacja
« Odpowiedź #38 dnia: Kwiecień 13, 2014, 21:07:08 »
Poniższą kompilację można by nazwać "Liczby Fibonacciego wokół nas". Jak pisze jej autor "W produkcji tej starałem się pokazać jak najwięcej przykładów obecności złotej liczby w różnych dziedzinach życia, ale też jednocześnie nie pozwoliłem sobie na utratę naukowego obiektywizmu."
Jak by jej nie oceniać, myślę że - summa summarum - warto dodać ją do istniejących już materiałów.

Tajemniczy ciąg Fibonacciego. Złota liczba. Boska proporcja.
<a href="http://www.youtube.com/watch?v=wb7kPaM8cfg" target="_blank">http://www.youtube.com/watch?v=wb7kPaM8cfg</a>
« Ostatnia zmiana: Kwiecień 13, 2014, 21:10:17 wysłana przez Leszek »

Offline Lucyfer

  • Administrator
  • Ekspert
  • *****
  • Wiadomości: 609
    • Zobacz profil
    • Email
Odp: 3. Podstawowe pojęcia
« Odpowiedź #39 dnia: Kwiecień 15, 2014, 11:21:27 »
Liczby Fibonacciego Hemaczandry w rytmice  :oczko:

<a href="http://www.youtube.com/watch?v=a3DWjs-2HAc" target="_blank">http://www.youtube.com/watch?v=a3DWjs-2HAc</a>

Hemaćandra( dewanagari हेमचन्द्र सूरी , transliteracja hemacandra sūrī , ang. Hemachandra , znany także jako Hemaćarja), poeta, filozof, językoznawca, leksykograf i logik dżinijski żyjący w latach 1088 lub 1089[1] - 1172, z Gudżaratu. Syn kupca. Będąc duchownym posiadał duże wpływy na dworze władców Gujaratu. Członek dżinijskiego odłamu śwetambarów. Napisał wiele dzieł w prakrycie.
http://pl.wikipedia.org/wiki/Hemaczandra
http://en.wikipedia.org/wiki/Hemachandra#Works

http://swietageometria.info/iu/di-AU8A.png
3. Podstawowe pojęcia

Offline Leszek

  • Administrator
  • Ekspert
  • *****
  • Wiadomości: 1759
    • Status GG
    • Zobacz profil
    • swietageometria.info
    • Email
Odp: 3. Podstawowe pojęcia - Złota proporcja
« Odpowiedź #40 dnia: Czerwiec 01, 2014, 23:29:19 »
"Złota proporcja -- fundament natury i ludzkiej kreacji opartej na harmonii" to tytuł prezentacji Waldemara Gajewskiego wygłoszonej na I Zlocie Sympatyków NTV we Wrocławiu, 22 marca 2014 r.
<a href="http://www.youtube.com/watch?v=vJpnoQjfnjM" target="_blank">http://www.youtube.com/watch?v=vJpnoQjfnjM</a>
« Ostatnia zmiana: Czerwiec 02, 2014, 10:13:37 wysłana przez Leszek »

Offline Leszek

  • Administrator
  • Ekspert
  • *****
  • Wiadomości: 1759
    • Status GG
    • Zobacz profil
    • swietageometria.info
    • Email
Odp: 3. Podstawowe pojęcia
« Odpowiedź #41 dnia: Październik 28, 2014, 22:33:31 »
Do kolekcji...

http://swietageometria.info/s/di-TXWQ.png
3. Podstawowe pojęcia



Offline migoku

  • Użytkownik
  • **
  • Wiadomości: 28
  • Płeć: Mężczyzna
    • Zobacz profil
    • Pracownia Rękodzieła Fenome
    • Email
Odp: 3. Podstawowe pojęcia
« Odpowiedź #42 dnia: Luty 06, 2015, 21:57:54 »