Choose fontsize:
Witamy, Gość. Zaloguj się lub zarejestruj.
 
  W tej chwili nie ma nikogo na czacie
Strony: « 1 2 3 4 5 »   Do dołu
  Drukuj  
Autor Wątek: 3. Podstawowe pojęcia  (Przeczytany 49171 razy)
0 użytkowników i 1 Gość przegląda ten wątek.
Leszek
Administrator
Ekspert
*****
Płeć: Mężczyzna
Wiadomości: 1646


4357533

swietageometria.info swietageometria Leszko2012
Zobacz profil WWW Email
« Odpowiedz #27 : Grudzień 21, 2013, 15:27:10 »


O Kwiecie Życia raz jeszcze....
<a href="http://www.youtube.com/watch?v=PYvKX5z2XfI" target="_blank">http://www.youtube.com/watch?v=PYvKX5z2XfI</a>

More:
http://swietageometria.info/podstawowe-pojecia?start=6
or:
http://forum.swietageometria.info/index.php/topic,26.msg105.html#msg105

Share this topic on FacebookShare this topic on GoogleShare this topic on MagnoliaShare this topic on TwitterShare this topic on Google buzz 

Zapisane

Leszek
Administrator
Ekspert
*****
Płeć: Mężczyzna
Wiadomości: 1646


4357533

swietageometria.info swietageometria Leszko2012
Zobacz profil WWW Email
« Odpowiedz #28 : Marzec 03, 2014, 09:48:30 »


Trójkąt prostokątny i liczba Fi


Trójkąt prostokątny - trójkąt, którego jeden z kątów wewnętrznych jest prosty. Dwa boki trójkąta wyznaczające ramiona kąta prostego nazywane są przyprostokątnymi, trzeci bok przeciwprostokątną.
Za: Wikipedia


Liczbę Fi możemy wyliczyć z każdego trójkąta prostokątnego, którego jedna przyprostokątna jest o połowę krótsza od drugiej przyprostokątnej.

Aby to zrobić musimy wykonać trzy proste operacje:
1) przyjmując wybrane przez siebie długości przyprostokątnych, obliczamy długość przeciwprostokątnej posługując się twierdzeniem Pitagorasa (a2+b2=c2)
2) do otrzymanej długości przeciwprostokątnej dodajemy  długość krótszej przyprostokątnej
3) uzyskaną w ten sposób liczbę dzielimy przez długość dłuższej przyprostokątnej.

Przykład:
1) weźmy trójkąt prostokątny, w którym długość krótszej przyprostokątnej wynosi 1cm , a dłuższej 2cm
2) obliczmy długość przeciwprostokątnej ze wzoru a2+b2=c2
a2+ b2=c2
1cm2+ 2cm2=c2
1cm+ 4cm=5cm2

5cm2 (pięć centymetrów kwadratowych) to oczywiście nie jest długość przeciwprostokątnej, lecz powierzchnia kwadratu o boku równym przeciwprostokątnej "c". Chcąc obliczyć bok tego kwadratu, a tym samym długość naszej przeciwprostokątnej "c" musimy obliczyć pierwiastek z naszego c2=5cm2
Działanie to jest proste - tak jak bok kwadratu podniesiony do kwadratu daje powierzchnię kwadratu, tak pierwiastek z liczby oznaczającej powierzchnię kwadratu daje nam długość boku tego kwadratu.

Tak więc:
√5 = 2,2360679774997896964091736687313cm - długość przeciwprostokątnej trójkąta o bokach 1cm i 2cm

Teraz do przeciwprostokątnej dodajemy długość krótszej przyprostokątnej:
2,2360679774997896964091736687313cm + 1cm = 3,2360679774997896964091736687313cm

i uzyskaną liczbę dzielimy przez długość dłuższej przyprostokątnej, w naszym przypadku = 2

3,2360679774997896964091736687313cm / 2cm = 1,6180339887498948482045868343656cm

Otrzymujemy liczbę Fi = 1,6180339887498948482045868343656cm
 


Sprawdzamy
Pisaliśmy, że liczbę Fi możemy odnaleźć w KAŻDYM trójkącie prostokątnym, którego jedna przyprostokątna jest o połowę krótsza od drugiej przyprostokątnej. Sprawdźmy tę prawidłowość dla prostokąta o przyprostokątnych równych 3cm i 6cm.

a^2+b^2=c2
3cm2+6cm2=c2
9cm+36cm=45cm2
√45 = 6,7082039324993690892275210061938cm

Do przeciwprostokątnej dodajemy długość krótszej przyprostokątnej:
6,7082039324993690892275210061938cm + 3cm = 9,7082039324993690892275210061938cm

uzyskaną liczbę dzielimy przez długość dłuższej przyprostokątnej:
9,7082039324993690892275210061938cm / 6cm = 1,6180339887498948482045868343656cm

Otrzymujemy liczbę Fi = 1,6180339887498948482045868343656cm

Dałem tyle liczb po przecinku, na ile pozwolił mi kalkulator... Mrugnięcie
 
* * * * *

Powyższe wyliczenia sugerują związek twierdzenia Pitagorasa z liczbą Fi (złotym podziałem) i być może dlatego Johannes Kepler (1571–1630) zwykł mawiać:

Geometria ma dwa wielkie skarby: jeden z nich to Twierdzenie Pitagorasa,
drugi – podział odcinka w stosunku średnim i skrajnym.
Pierwszy możemy porównać do miary złota,
drugi możemy nazwać drogocennym klejnotem.

.
Źródło cytatu


Share this topic on FacebookShare this topic on GoogleShare this topic on MagnoliaShare this topic on TwitterShare this topic on Google buzz 

« Ostatnia zmiana: Marzec 04, 2014, 21:24:49 wysłane przez Leszek » Zapisane

SasQ
Collegium Invisible
Zaawansowany użytkownik
*
Płeć: Mężczyzna
Wiadomości: 270


Quanta rhei... :-)

5127368

Saskachewan sasq
Zobacz profil WWW Email
« Odpowiedz #29 : Marzec 04, 2014, 21:53:37 »


Liczbę Fi możemy wyliczyć z każdego trójkąta prostokątnego, którego jedna przyprostokątna jest o połowę krótsza od drugiej przyprostokątnej.

Zgadza się. Jest tak dlatego, że przekątna prostokąta o wymiarach 2x1 ma długość równą pierwiastkowi z 5 (będę go zapisywał root(5)). A pierwiastek z 5 jest częścią składową złotej liczby Fi (dodaje się połowę pierwiastka z 5 i połowę jedności).

obliczamy długość przeciwprostokątnej posługując się twierdzeniem Pitagorasa (a2+b2=c2)

Możemy też pójść na skróty, korzystając ze spirali trygonometrycznej Teorodosa Mrugnięcie

Zawiera ona wszystkie kolejne pierwiastki z liczb naturalnych jako promienie. Każdy taki promień robi za przyprostokątną trójkąta prostokątnego i służy do obliczenia następnej przeciwprostokątnej w kolejce (drugą z przyprostokątnych jest zawsze jedynka), poczynając od 1.

Nasz pierwiastek z 5 możemy znaleźć tuż obok pierwiastka z 4 (czyli 2). Można uznać tę dwójkę za jeden z boków prostokąta, a drugi bok to jedynka, i wtedy pierwiastek z 5 jest jego przekątną.

do otrzymanej długości przeciwprostokątnej dodajemy długość krótszej przyprostokątnej

Co oznacza, że do pierwiastka z 5 dodajemy 1. Razem mamy root(5) + 1. Brakuje już tylko podzielić przez 2 Mrugnięcie I w tym celu można skorzystać z drugiej przyprostokątnej, która jest dwójką:

uzyskaną w ten sposób liczbę dzielimy przez długość dłuższej przyprostokątnej.

Tak. I w ten sposób dostaliśmy ( root(5) + 1 ) / 2, czyli wzór na złotą liczbę Fi Uśmiech

Dałem tyle liczb po przecinku, na ile pozwolił mi kalkulator... Mrugnięcie

Niepotrzebnie, bo choćbyś podał ich pierdyliardy, to i tak nadal nie byłaby to dokładnie liczba Fi, tylko jakieś jej przybliżenie Mrugnięcie Wystarczyło jednak podać wzór algebraiczny, który jest zawsze dokładny, i można sobie z niego wyliczać liczbę Fi do dowolnej ilości miejsc po przecinku  teniec Matematykowi taki wzór wystarcza za dowód.

W sumie mógłbym nawet przeprowadzić dowód formalny dla Twojego twierdzenia Mrugnięcie Oto on:

Niech a będzie najkrótszą przyprostokątną (dowolnie wybraną). Posłuży nam za jednostkę.
Bok b jest dwa razy dłuższy od boku a, więc zapiszmy go 2a.
Obliczamy przeciwprostokątną c z Twierdzenia Pitagorasa:
c2 = a2 + b2
c2 = a2 + (2a)2
c2 = a2 + 4 a2
c2 = 5 a2
c = root(5 a2)
c = root(5) root(a2)
c = root(5) a
Teraz dodajmy do przeciwprostokątnej krótszą przyprostokątną, czyli nasze a:
c + a = root(5) a + a
Po prawej stronie równania a jest wspólnym czynnikiem, więc możemy go wyciągnąć poza nawias:
c + a = (root(5) + 1) a
Jeśli podzielimy przez bok b (czyli, pamiętajmy, 2a), to otrzymamy:
(c + a)/b = (root(5) + 1) a / b
(c + a)/b = (root(5) + 1) a / (2a)
Licznik i mianownik mają wspólny czynnik: a. Możemy go skrócić, i zostaje nam jedynie:
(c + a)/b = (root(5) + 1) / 2
czyli złota proporcja jupi
(c + a)/b = Fi
Ponieważ naszą jednostkę a mogliśmy wybrać dowolnie, a druga z przyprostokątnych była jej dwukrotnością, otrzymamy złotą proporcję niezależnie od tego, jaką długość miał bok a. Tak więc jedyne, co się liczy, to stosunki boków, które będą wtedy następujące: 1 : 2 : root(5). Jeśli tylko boki są w takich stosunkach do siebie, otrzymamy:
(c + a)/b = Fi
Q.E.D. słonko

Sprawdzamy
Pisaliśmy, że liczbę Fi możemy odnaleźć w KAŻDYM trójkącie prostokątnym, którego jedna przyprostokątna jest o połowę krótsza od drugiej przyprostokątnej. Sprawdźmy tę prawidłowość dla prostokąta o przyprostokątnych równych 3cm i 6cm.

No to brawo, już sprawdziłeś dla dwóch. Do sprawdzenia zostało Ci jeszcze... nieskończenie wiele innych brak czasu
Ale spoko, ja już powyżej sprawdziłem dla wszystkich Uśmiech

Powyższe wyliczenia sugerują związek twierdzenia Pitagorasa z liczbą Fi (złotym podziałem)

Na tej zasadzie to moja data urodzenia też ma związek z twierdzeniem Pitagorasa krzywy oraz z pierwiastkiem z 17 (liczby pierwszej). Bo jeśli wstawimy mój miesiąc i dzień urodzenia jako przyprostokątne, wyjdzie pierwiastek z 17 tort (P.S.: Kto zgadnie kiedy mam urodziny? krzywy)

i być może dlatego Johannes Kepler (1571–1630) zwykł mawiać:

Geometria ma dwa wielkie skarby: jeden z nich to Twierdzenie Pitagorasa,
drugi – podział odcinka w stosunku średnim i skrajnym.
Pierwszy możemy porównać do miary złota,
drugi możemy nazwać drogocennym klejnotem.

.
Źródło cytatu

Myślę, że Kepler mógł raczej mieć na myśli coś innego; coś, co faktycznie łączy w sobie Twierdzenie Pitagorasa i złotą proporcję w dość intrygujący sposób :> Tak zwany Trójkąt Keplera. Twoje zabawy z trójkątem prostokątnym są początkiem drogi, która wiedzie do Trójkąta Keplera, więc może rozwinę nieco ten temat Mrugnięcie Poniżej przedstawiam animację pokazującą jak skonstruować Trójkąt Keplera:


(kliknij by powiększyć; niestety forum pomniejsza mi te obrazki i rozmywa ;-P)

Parę słów wyjaśnienia:
Zaczynam od prostokąta 2x1. Chcę poznać długość jego przekątnej.
Możemy to zrobić ze spirali Teorodosa, albo z Twierdzenia Pitagorasa. Żeby było podobnie, jak u Ciebie, skorzystałem z tej drugiej metody.
Pola kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych to 1 i 4. Razem dają pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej, czyli 5.
To znaczy, że bok tego kwadratu (nasza przekątna) jest pierwiastkiem z 5.
Następnie dzielę ją na pół, a także pozostałe boki prostokąta.

Teraz mam dwukrotnie mniejszy prostokąt o bokach 1/2 i 1, i przekątnej równej root(5)/2.
Przekręcam tę przekątną do pionu (np. odmierzając za pomocą cyrkla i zakreślając łuk).
Ponieważ tuż pod nią znajduje się połówka boku prostokąta, 1/2, razem dają root(5)/2 + 1/2, albo ( root(5) + 1 ) / 2, czyli wzór złotej liczby Fi.

Opcjonalnie:
Dla hecy znajdźmy jeszcze małe fi, czyli odwrotność dużego Fi Oczko
Można to zrobić rysując trójkąt prostokątny wewnątrz półkola. Wtedy jednostka podzieli duży trójkąt prostokątny na dwa mniejsze, które będą podobne do niego (będą miały te same kąty i stosunki boków). Możemy więc przyrównać odpowiadające sobie boki, by poznać brakujący bok x:
x/1 = 1/Fi     (ponieważ stosunki odpowiadających sobie boków w trójkątach podobnych muszą być jednakowe).
x = 1/Fi
x = fi   (ponieważ odwrotnością dużego Fi jest małe fi).
Z tego rysunku wynika, że jedność jest średnią geometryczną między dużym Fi a małym fi, ponieważ tworzy z nimi proporcję ciągłą (geometryczną):
fi : 1 : Fi

OK, jedziemy dalej.
Biorę moją złotą liczbę Fi (zielononiebieski odcinek na obrazku) i przekręcam znowu, aż do spotkania z kolejną pionową linią oddaloną o 1. W ten sposób liczba Fi staje się przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego, którego przyprostokątną jest 1.
Ten trójkąt to właśnie TRÓJKĄT KEPLERA  Cool

Jaka jest długość pozostałej przyprostokątnej?
Ano spróbujmy znowu użyć Twierdzenia Pitagorasa (jak radził sam Kepler w tym cytacie).
Kwadrat zbudowany na boku jednostkowym sam jest jednostkowy (ma pole równe 1).
Kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej (o długości Fi) ma pole Fi2.
Jak poznać pole trzeciego kwadratu?
Złota liczba Fi ma taką ciekawą właściwość, że gdy dodamy do niej jedynkę, otrzymujemy jej kwadrat:
Fi + 1 = Fi2
Stąd wynika, że brakujący kwadrat ma pole równe złotej liczbie Fi Uśmiech
Skoro tak, to bok tego kwadratu (nasza druga przyprostokątna) będzie pierwiastkiem z Fi Uśmiech

Tak oto otrzymujemy wyjątkowy trójkąt prostokątny, który ukazuje wyjątkowy związek Twierdzenia Pitagorasa ze złotą liczbą Fi zdziwko
To jedyny taki trójkąt prostokątny, w którym pola kwadratów są do siebie w złotych stosunkach: Fi2 : Fi : 1, jak również złota liczba Fi pojawia się jako jego przeciwprostokątna, oraz jej pierwiastek jako przyprostokątna. Pozostała przyprostokątna ma długość równą jedności.
Jest to też jedyny taki trójkąt prostokątny, w którym funkcje trygonometryczne poszczególnych kątów są sobie równe:
cos(β) = tan(β)  =  sin(α) = cot(α)  =  1/root(Fi) = root(fi)
Można to fajnie zobaczyć, gdy się wrzuci wszystkie te funkcje trygonometryczne na jeden wykres i sprawdzi, gdzie się przecinają:


A żeby było jeszcze ciekawiej: ten trójkąt występuje w przekroju Wielkiej Piramidy w Giza w Egipcie, pozwala obliczyć stosunki średnic Ziemi i Księżyca, oraz całkiem niezłe przybliżenie kwadratury koła Mrugnięcie


Zaiste prawdziwy klejnot matematyki  Cool

Share this topic on FacebookShare this topic on GoogleShare this topic on MagnoliaShare this topic on TwitterShare this topic on Google buzz 

« Ostatnia zmiana: Kwiecień 07, 2014, 10:01:21 wysłane przez Leszek » Zapisane

Naukowy kącik kwantowy Saska:  http://nauka.mistu.info/  usmiech
Ostatnio dodane artykuły: Splątanie kwantowe rozplątane
Lady F
Zaawansowany użytkownik
****
Wiadomości: 276


Merlin



Zobacz profil
« Odpowiedz #30 : Marzec 06, 2014, 11:59:15 »


Po przeczytaniu postu Leszka, zaczelam zastanawiac sie nad trescia i narysowalam taki trojkat, aby sprawdzic ile wynasza w nim katy alfa i beta, bo w takiej proporcji zawsze beda stale. I po skonstruowaniu takiego trojkata, w ktorym jedna przyprostokatna jest dwa razy dluzsza od drugiej, wymierzylam kilkoma (!) katomierzami alfe i bete. Wyszlo mi jeden 64° a drugi 26°.

Posluzylam sie kalkulatorkiem (niestety tylko  Mrugnięcie 9 miejsc po przecinku), aby sprawdzic co maszynka mi odpowie na pytanie ile wynosi tg 26° i tg 64°.
Odpowiedz blyskawiczna - tg 26° = 0,487732588,  a tg 64° = 2,050303842.

W tym momencie zrenice rozszerzyly sie u mnie, bo z definicji szkolnej funkcji trygonometrycznych na podstawie trojkata Pitagorasa tg alfa i beta wynosilby odpowiednio 2 lub 1/2.

Zastanowilo mnie to niezmiernie, i sklonilo do wysnucia wniosku, ze obliczanie funkcji tangensa nie dotyczy konstrukcji dwu-wymiarowych.

Share this topic on FacebookShare this topic on GoogleShare this topic on MagnoliaShare this topic on TwitterShare this topic on Google buzz 

Zapisane
SasQ
Collegium Invisible
Zaawansowany użytkownik
*
Płeć: Mężczyzna
Wiadomości: 270


Quanta rhei... :-)

5127368

Saskachewan sasq
Zobacz profil WWW Email
« Odpowiedz #31 : Marzec 06, 2014, 13:43:53 »


Po pierwsze, kątomierz ma ograniczoną dokładność. Nie zmierzysz nim kąta dokładniej, niż 1 stopień, bo co tyle są kreski na podziałce, a faktyczne kąty w tym trójkącie leżą gdzieś pomiędzy tymi kreskami; mieszczą się w granicach 63..64 stopnie oraz 26..27 stopni. Taka dokładność jest niestety niewystarczająca do udowodnienia czegokolwiek. Tego nie udowadnia się pomiarami, tylko algebraicznie. Niestety obawiam się, że żaden kątomierz, choćby nie wiem jak dokładny, nam tutaj nie pomoże, bo oba te kąty są niewymierne: cyfry po przecinku ciągną się bez końca i nie powtarza się w nich żaden wzorzec.

Po drugie, zabrałaś się do tego "od dupy strony" Mrugnięcie Przecież znasz proporcje boków, a chcesz poznać kąt, a nie na odwrót. Więc zamiast liczyć tangens, powinnaś raczej policzyć jego odwrotność: arcus tangens, który podaje Ci kąt, gdy podasz mu stosunek przyprostokątnych. Innymi słowy, rozwiązać równanie dla nieznanego kąta k. Wiemy, że:
      tan k  =  2/1
bierzemy arcus tangens obu stron równania, by skasować tangens po lewej stronie:
      arctan(tan k) = arctan(2)
      k = arctan(2)
Według mojego kalkulatora, ten kąt to około 63.43494882... stopni, lub 1.107148718... radiana.
Ten drugi obliczasz podobnie, tylko zamiast dwójki wstawiasz połówkę:
      k = arctan(1/2)
i kalkulator mówi, że ten kąt to około 26.56505118... stopni lub 0.463647609... radiana.
Więc na pewno nie są to kąty równe 64 i 26.
Kąty 64 i 26 z kolei wyjdą dla boków w zupełnie innym stosunku: jeden z nich będzie nieco dłuższy od 2 (jak słusznie policzyłaś: tan 64° = 2,050303842... > 2/1), lub ten drugi nieco krótszy od połowy pierwszego (tan 26° = 0,487732588... < 1/2).

W tym momencie zrenice rozszerzyly sie u mnie, bo z definicji szkolnej funkcji trygonometrycznych na podstawie trojkata Pitagorasa tg alfa i beta wynosilby odpowiednio 2 lub 1/2.

Tylko jeśli kąty byłyby właściwe Mrugnięcie Nieco inne, niż 26 i 64.
Jeśli jednak uprzesz się przy takich kątach, to odpowiednio boki muszą być inne, niż 2 : 1.

Zastanowilo mnie to niezmiernie, i sklonilo do wysnucia wniosku, ze obliczanie funkcji tangensa nie dotyczy konstrukcji dwu-wymiarowych.

Dotyczy, tylko trzeba umieć się nimi poprawnie posługiwać Mrugnięcie
Dlaczego miałoby nie dotyczyć, skoro właśnie w dwóch wymiarach te funkcje zostały zdefiniowane?

A jeśli masz jakieś wątpliwości co do tego, skąd kalkulator "wie" jake cyferki po przecinku mają te kąty (czyli jak kalkulator oblicza ten arcus tangens), to możesz zrobić to również sama:

Z rachunku różniczkowego wiemy, że funkcję arcus tangens można rozpisać jako bardzo prosty szereg potęgowy:

arctan(x)   =   x  -  x3/3  +  x5/5  -  x7/7  +  x9/9  -  x11/11  +  ...

czyli kolejne nieparzyste potęgi iksa (stosunku boków) dzielisz przez kolejne nieparzyste liczby, na przemian odejmując i dodając kolejne składniki. Żeby dostać wynik dokładny, musiałabyś dodać nieskończenie wiele takich składników, bo jest to szereg nieskończony. Ale jeśli wystarczy Ci przybliżenie (a zakładam, że tak, skoro używasz kalkulatora), to każdy kolejny składnik tej sumy poprawia dokładność wyniku, więc możesz dodać ich tak dużo, aż otrzymasz zadowalającą Cię liczbę miejsc po przecinku, i wtedy możesz przerwać Mrugnięcie (bo kolejne składniki będą już coraz mniej poprawiać ten wynik, utwierdzając coraz dalsze cyfry po przecinku). Jeśli tylko ufasz dodawaniu, odejmowaniu, potęgowaniu i dzieleniu, to powyższe obliczenia dadzą Ci wartość kąta, przybliżoną do tylu miejsc po przecinku, ile potrzebujesz. (Dodam, że różnica już od 3 miejsca po przecinku jest zwykle nie do zauważenia na rysunkach odręcznych ;P ).

Aha, ważna uwaga: tak obliczony kąt jest wyrażony w radianach! Jeśli wolisz w stopniach, podziel wynik przez pi i pomnóż przez 180. No i szereg jest zbieżny tylko dla stosunków mniejszych od 1. Jeśli potrzebujesz większe, policz dla mniejszego i skorzystaj z symetrii Mrugnięcie

Przykładowo tak wyglądają moje obliczenia tego kąta dla stosunku 1 : 2 tą metodą, dla kilku pierwszych składników (podstawiam 1/2 jako x i dodaję odpowiednią liczbę składników):

Składników:     Kąt przybliżony ułamkiem:        Kąt przybliżony dziesiętnie:
        1                              1 / 2                    =   0.5000000000000...
        2                            11 / 24                  =   0.4583333333333...
        3                          223 / 480                =   0.4645833333333...
        4                        6229 / 13440            =   0.4634672619047...
        5                      74783 / 161280          =   0.463684275793650...
        6                  3290137 / 7096320        =   0.46363988658910533...
        7              171090589 / 369008640    =   0.4636492766131438006...
        8              684359353 / 1476034560  =   0.463647242107935467310...
       ...

Jak widać, każdy kolejny składnik stabilizuje z grubsza kolejną cyferkę poprzecinku. Takie cyferki zaznaczam na niebiesko, gdy w następnym kroku nie uległa już zmianie (to dlatego, że każdy następny składnik doda już mniej, niż 1/10 poprzedniego wyniku, więc nie poprawi już tej cyferki). Okresową część rozwinięcia dziesiętnego podkreśliłem.

Według mojego kalkulatora dokładniejszy wynik byłby arctan(1/2) = 0.463647609... radiana. Jeśli podzielisz przez pi i pomnożysz przez 180, to dostaniesz wynik w stopniach: 26.56505118... stopni. Więc jak widać działa Uśmiech

Share this topic on FacebookShare this topic on GoogleShare this topic on MagnoliaShare this topic on TwitterShare this topic on Google buzz 

« Ostatnia zmiana: Marzec 06, 2014, 14:07:21 wysłane przez SasQ » Zapisane

Naukowy kącik kwantowy Saska:  http://nauka.mistu.info/  usmiech
Ostatnio dodane artykuły: Splątanie kwantowe rozplątane
Lady F
Zaawansowany użytkownik
****
Wiadomości: 276


Merlin



Zobacz profil
« Odpowiedz #32 : Marzec 07, 2014, 09:57:11 »


SasQ -

Cytuj
zabrałaś się do tego "od dupy strony"
  zdziwko

Domyslalam sie, ze to cos takiego o czym napisales powyzej szczegolowo i bardzo rzeczowo, ale nie mam takiej wiedzy w temacie, aby to fachowo udokumentowac. Zrobiles to za mnie, bo byc moze byl to rodzaj kopa w d.... w ten sposob pobudzam oporniki do myslenia i aktywnosci ruchowej taaak

A wiec funkcja arcus tangens nie pomyslalam, dzieki!  papapa



Share this topic on FacebookShare this topic on GoogleShare this topic on MagnoliaShare this topic on TwitterShare this topic on Google buzz 

Zapisane
Leszek
Administrator
Ekspert
*****
Płeć: Mężczyzna
Wiadomości: 1646


4357533

swietageometria.info swietageometria Leszko2012
Zobacz profil WWW Email
« Odpowiedz #33 : Marzec 08, 2014, 10:19:35 »


SasQ, dobrze, że tu jesteś...
Jesteś takim "zbrojnym ramieniem matematyki" Mrugnięcie
Badałeś związek twierdzenia Pitagorasa i trójkąta Keplera z Układem Słonecznym?

P.S
Zmykam na weekend jakby co.
Pamiętaj o kobiecej wrażliwości... Mrugnięcie



Share this topic on FacebookShare this topic on GoogleShare this topic on MagnoliaShare this topic on TwitterShare this topic on Google buzz 

Zapisane

Lady F
Zaawansowany użytkownik
****
Wiadomości: 276


Merlin



Zobacz profil
« Odpowiedz #34 : Marzec 09, 2014, 12:27:27 »


Ja tez ciesze sie, ze SasQ tu jest.
Tym razem zabieram sie do rzeczy od "przodka" strony Mrugnięcie

SasQ -

Cytuj
Po pierwsze, kątomierz ma ograniczoną dokładność. Nie zmierzysz nim kąta dokładniej, niż 1 stopień, bo co tyle są kreski na podziałce, a faktyczne kąty w tym trójkącie leżą gdzieś pomiędzy tymi kreskami; mieszczą się w granicach 63..64 stopnie oraz 26..27 stopni. Taka dokładność jest niestety niewystarczająca do udowodnienia czegokolwiek. Tego nie udowadnia się pomiarami, tylko algebraicznie

Jakos nie dawalo mi to spokoju, ze za swietosc przyjmuje sie 90° i od tego wyznacza niby niewymierne katy alfa i beta. Zaczelam zastanawiac sie dlaczego? Bo przyroslismy do matematyki Pitagorejskiej chyba troche za sztywno.

Ucieszylam sie, gdy znalazlam pojecia takie jak geometria analityczna i syntetyczna.

"Przez sto lat z górą, licząc od wprowadzenia algebry do geometrii, metody algebraiczne i analityczne zdominowały geometrię do tego stopnia, że metoda syntetyczna, oparta na wnioskowaniu z aksjomatów, została w tym czasie niemal zupełnie zepchnięta w cień. Niektórzy posuwali się nawet do poglądu, że metoda syntetyczna pozostanie językiem martwym, bez znaczenia i bez wpływu. Jak bardzo się mylili, pokazał wiek XIX.

Odrodzenie metody syntetycznej miało kilka źródeł. Jednym z nich był postęp w badaniach Postulatu Równoległości (p. niżej), tu natomiast powiemy o innych. Niektórzy mianowicie krytykowali metody algebraiczne i analityczne, uważając je za obce geometrii. Mówili, że w geometrii analitycznej algebra dominuje do tego stopnia, iż można tę geometrię uważać za część algebry (w istocie, w XX wieku geometria analityczna została wchłonięta przez algebrę liniową), natomiast w geometrii różniczkowej otrzymuje się wprawdzie godne uwagi rezultaty, jednakże metody analizy matematycznej nie pozwalają na jasne uchwycenie związku między punktem wyjścia a końcowym rezultatem, podczas gdy geometria wymaga prostych i intuicyjnie oczywistych dowodów. Podnosili też argument, że geometria jest prawdziwą nauką o przestrzeni, natomiast metody analizy nie mają solidnych podstaw, są więc niekompletne, a nawet logicznie wątpliwe. Przykładem ostrości tych polemik jest list Steinera (wybitnego geometry syntetycznego) do redakcji czasopisma Journal für Mathematik, że jeśli jego redaktor Crelle będzie w nim nadal publikował prace Plückera (wybitnego geometry analitycznego), to on przestanie przysyłać własne.

W duchu syntetycznym odrodziła się geometria rzutowa. Wyrosła z badań nad perspektywą malarską, miała za sobą krótki okres rozwoju w XVII wieku dzięki pracom Desarguesa i Pascala. Gerard Desargues (1591-1661) był oficerem, inżynierem i architektem, który w ramach swoich zainteresowań matematycznych podjął problem perspektywy malarskiej i sformułował szereg pojęć, które nadały mu znaczenie matematyczne. Blaise Pascal (1623-1662) te koncepcje podchwycił i dodał parę własnych twierdzeń. Prace obu zostały jednak rychło zapomniane (matematyka żyje tylko wtedy, gdy ktoś ją zna i rozwija) i geometrzy XIX-wieczni tworzyli podstawy geometrii rzutowej na nowo [Bibliografia]. Wybitnym geometrą był G. Monge (1746-1818) i odrodzenie geometrii rzutowej było dziełem jego uczniów. Pierwszy był L.N.M. Carnot (1753-1823), którego idee podjęli F.J. Servois i C.J. Brianchon (1788-1867), największy jednak bodziec dał J.V. Poncelet (1788-1867). Był to oficer armii napoleońskiej, który dwa lata spędzone w rosyjskiej niewoli w Saratowie poświęcił na rekonstrukcję z pamięci tego wszystkiego, czego się nauczył od Monge’a i Carnota, po czym zaczął te idee samodzielnie rozwijać. Wiodącym motywem jego głównego dzieła [Bibliografia] było poszukiwanie takich własności, które nie ulegają zmianie przy rzutowaniu, czyli niezmienników geometrii rzutowej. Pierwszy zrozumiał, że geometria rzutowa stanowi odrębną gałąź geometrii (i matematyki), mającą własne cele i metody, a w konsekwencji także specyficzne niezmienniki.

Dalszy rozwój geometrii rzutowej był dziełem geometrów niemieckich. Jako pierwszy idee Francuzów podjął J. Steiner (1796-1863), którego myślą przewodnią było budowanie złożonych struktur w oparciu o proste, np. stożkowe definiował jako miejsca przecięcia dwóch „rzutowo” powiązanych pęków prostych [Bibliografia]. W swoich badaniach zaszedł daleko, m.in. posługiwał się zasadą dualności. Od posługiwania się euklidesowym pojęciem długości, które oczywiście nie jest niezmiennikiem rzutowym, uwolnił geometrię rzutową K.G.C. von Staudt (1798-1867), sugerując jednocześnie, że geometria rzutowa jest bardziej pierwotna od geometrii euklidesowej [Bibliografia]. Ściśle to wykazał nieco później F. Klein (p. niżej)."

zrodlo: http://jaszczur.czn.uj.edu.pl/mod/book/view.php?id=1896&chapterid=10976

A stary poczciwy katomierz doprowadzil mnie do takiego wnioskowania : (za wiki)



Jednostki trygonometryczne (a moze wlasciwiej byby nazwac goniometryczne) ukazuje jedna o nazwie sec.

Czyzby tylko o secans chodzilo? A moze o jednostke, ktora my uznajemy jako miare "czasu"?

"Droga przebyta przez światło w czasie 1 sek , nie zależy od jednostek długości przyjętej przez obserwatora. Jest ona bowiem taka sama teraz, jak była przed tysiącami lat i taka będzie za kolejne tysiące lat. Zatem drogę przebytą przez światło, możemy uznać jako wzorzec (miarę długości)."

Polecam ciekawe zrodlo: https://aleksanderkosowski.wordpress.com/tag/trojkat-pitagorejski/

Waznym pojeciem jest radian, nie tylko w matematyce, lecz glownie w przekazie energii i informacji.





Prawidlowa interpretacje figur planimetrycznych mozna uzyskac jedynie przy wprowadzeniu terminu wektory.

zrodlo: http://kielich.amu.edu.pl/Stefan_Banach/pdf/mechanika/01-1.pdf

A pozniej juz droga otwarta do zrozumienia pojecia iloczynu skalarnego.

"Iloczyn skalarny – w matematyce pewna forma dwuliniowa na danej przestrzeni liniowej, tj. dwuargumentowa funkcja o szczególnych własnościach przyporządkowująca dwóm wektorom danej przestrzeni liniowej wartość skalarną. Czasami spotyka się również nazwę iloczyn wewnętrzny, który zwykle odnosi się jednak do ogólnych iloczynów skalarnych wprowadzanych w abstrakcyjnych przestrzeniach liniowych nazywanych wtedy przestrzeniami unitarnymi; przestrzenie afiniczne z wyróżnionym iloczynem skalarnym nazywa się przestrzeniami euklidesowymi.

Zasadniczym celem wprowadzania iloczynu skalarnego w danej przestrzeni liniowej jest wprowadzenie na niej geometrii euklidesowej, w szczególności kąta między dwoma wektorami, co umożliwia mówienie o ich prostopadłości (nazywanej w tym kontekście ich ortogonalnością, która jest nieznacznym uogólnieniem) oraz obrotu. Iloczyn skalarny stanowi więc pomost między geometrią syntetyczną a geometrią analityczną. Ponieważ trójwymiarowa przestrzeń euklidesowa jest dobrym przybliżeniem świata rzeczywistego w skali makroskopowej, to iloczyn skalarny w niej określony znajduje zastosowanie fizyce klasycznej, np. mechanice klasycznej (branie rzutów wektora siły wypadkowej jest tego przykładem); z kolei w mechanice kwantowej rozpatruje się (nieskończeniewymiarowe) przestrzenie Hilberta, czyli przestrzenie liniowe (nieskończonego wymiaru) z iloczynem skalarnym i dodatkową strukturą topologiczną (zob. Uogólnienia). Przykładowo praca mechaniczna \scriptstyle W to wielkość fizyczna wyrażająca się jako iloczyn skalarny siły \scriptstyle \mathbf F oraz przemieszczenia \scriptstyle \mathbf r.


A wiec Wiki podaje jako baze przestrzen euklidesowa, ktora jest definiowana przez geometrie syntetyczna, o czym wspominalam na wstepie.



 


Share this topic on FacebookShare this topic on GoogleShare this topic on MagnoliaShare this topic on TwitterShare this topic on Google buzz 

« Ostatnia zmiana: Kwiecień 07, 2014, 10:04:58 wysłane przez Leszek » Zapisane
SasQ
Collegium Invisible
Zaawansowany użytkownik
*
Płeć: Mężczyzna
Wiadomości: 270


Quanta rhei... :-)

5127368

Saskachewan sasq
Zobacz profil WWW Email
« Odpowiedz #35 : Marzec 09, 2014, 14:53:15 »


No fajnie nawrzucałaś sporo cytatów całych sporych fragmentów z różnych źródeł, tylko jakoś nie mogę dojść do tego, w jakim celu i jakie są Twoje wnioski z tego wszystkiego; do czego z tym wszystkim zmierzasz.

Jakos nie dawalo mi to spokoju, ze za swietosc przyjmuje sie 90°

Gdzie się przyjmuje za świętość?
Jeśli już, to przyjmuje się kąt prosty sam w sobie (niezależnie od miary), i nie za "świętość", tylko po prostu za dość szczególny kąt, który ma swoje specjalne i użyteczne właściwości. Już mówię dlaczego:

Jak pewnie wiesz, każde koło ma ten sam stosunek średnicy (linii prostej) do obwodu (szczególnej linii krzywej). Tym stosunkiem jest liczba pi, w każdym kole taka sama. Można ją uznać za stosunek między drogą z jednego końca koła na drugi "na wprost", a drogą "okrężną" po jednym z półkoli (oba są jednakowej długości, więc możesz sobie wybrać swoje ulubione Mrugnięcie). Tak więc wiemy, że długość łuku półkola to pi.

Według "Elementów" Euklidesa, takie półkole nie tworzy jeszcze kąta, bo linia prosta się nigdzie nie załamuje. Ale gdy już ją złamiemy, powstanie narożnik (kąt), i będzie on miał jakąś miarę.

Istnieje wiele różnych kątów o różnej mierze, ale jeden z nich jest szczególny, bo po obu stronach linii, która go tworzy z inną linią, daje tę samą ilość przestrzeni; a z półkola odcina dwie równe części: dwa równe łuki o długości pi / 2. Ten kąt to właśnie jest kąt prosty. Gdy uzyskasz taki kąt, to linie tworzące ten kąt są do siebie prostopadłe. I na tym polega jego wyjątkowość.

Możesz sama intuicyjnie dojść do tego kąta: Wytnij sobie z papieru równe kółko i przetnij na pół. Teraz spróbuj przeciąć to półkole w taki sposób, by oba kawałki papieru były jednakowo duże. Jeśli zrobisz to w taki sposób, to pewnie zauważysz sama, że musisz go przeciąć pod kątem prostym, bo inaczej któraś z części będzie większa od drugiej.

Euklides w "Elementach" nie używał dla niego żadnej miary (w szczególności nie używał miary stopniowej, 90°), bo absolutne wartości kątów nie były mu do niczego potrzebne, gdyż używał geometrii w sposób "algebraiczny". Interesowały go jedynie zależności między kątami (np. czy dane dwa kąty są równe, czy może któryś z nich jest większy, a jeśli tak, to ile razy jeden jest większy od drugiego).

I w zasadzie wszystkie miary kątów, których używamy, opierają się na takim porównywaniu, bo każdy pomiar polega na porównaniu nieznanej wielkości z jakąś znaną, wzorcową (jednostką).

Np. w przypadku miary w radianach odmierzamy na obwodzie długość jednego promienia i to jest nasz wzorcowy kąt (1 radian). pi takich kątów mieści się na obwodzie jednego półkola (które, pamiętajmy, dla Greków było maksymalnie rozwartym kątem, tworzącym już linię prostą bez załamania).

Podobnie w przypadku miary stopniowej obwód koła został podzielony na 360 równych części. Jedna z nich to stopień, i wszystkie inne kąty są porównywane z nią: ile razy ten stopień mieści się w nieznanym kącie.

Co ciekawe, miara 360-stopniowa, którą znamy od Babilończyków, też wydaje się opierać na kącie prostym, który dzieli obwód koła na 4 równe części. Jeśli następnie wpiszemy w niego dwa trójkąty równoboczne, przeciwnie zorientowane (pierwiastek męski + żeński, tworzące razem Gwiazdę Dawida), i wyznaczymy w ten sposób wierzchołki sześciokąta, to podzielimy w ten sposób każdą ćwiartkę na jeszcze trzy części, co daje razem 12 równych części (patrz 12 godzin, 12 znaków Zodiaku na ekliptyce, 12 miesiący w roku itd.).
12 to liczba wszechstronna: ma więcej podzielników, niż każda liczba przed nią. Takie liczby świetnie się nadają na jednostki miar i wag, bo pozwalają na tworzenie wielu różnych kombinacji i wzorców (więcej niż inne liczby złożone mniejsze od nich).
Jeśli teraz dodamy pentagram, który dzieli obwód koła na 5 równych części, to uzyskamy 5*12=60 jako liczbę różnych możliwych kombinacji ułożenia tych dwóch figur (patrz 60 minut w godzinie i 60 sekund w minucie, oraz system sześćdziesiętny używany przez Babilończyków).
Stąd już niedaleko do 360=60*6 Mrugnięcie

Warto też podkreślić, że wszystkie miary kątów można rozumieć jako odcinanie fragmentów łuku z obwodu koła. To przydatna informacja, bo ułatwia zrozumienie trygonometrii Mrugnięcie w której wcale nie chodzi o trójkąty, tylko właśnie o koła, obroty i wirowanie. Babilończycy używali jej oryginalnie do mierzenia ruchów ciał niebieskich na sferze niebieskiej i wyznaczania odległości między nimi.

i od tego wyznacza niby niewymierne katy alfa i beta.

To, czy dany kąt będzie wymierny, czy niewymierny, nie zależy od niego samego, tylko od wyboru jednostki. Przykładowo jeśli użyjesz jednostki O, którą wymyśliłem sobie kiedyś na potrzeby obliczeń kątów w wielokątach foremnych, to wszystkie kąty w wielokątach foremnych będą wymierne Mrugnięcie 1 O to jeden obwód koła. Kąt po obu stronach linii to O/2. Kąt prosty to O/4. Kąt w trójkącie równobocznym to O/3. W pięciokącie O/5. W sześciokącie O/6 itd. Tę jednostkę też dość łatwo przelicza się na radiany, zastępując O wartością obwodu koła, czyli 2 pi Mrugnięcie Ale nawet dla tej wygodnej jednostki mogą istnieć kąty niewymierne, np. takie jak ten w prostokącie 2x1. Nie da się też uciec od przestępnej liczby pi, bo wyskoczy ona wtedy w zupełnie innym miejscu: gdy spróbujesz wyrazić kąt 1 radiana, bo skoro 2 pi takich kątów mieści się w jednym O, to ten kąt wynosi O / (2 pi).

Równie dobrze mogłabyś wybrać rozmiar kąta w trójkącie 2x1 jako swój kąt jednostkowy, nazwijmy go P (jak prostokąt). Wtedy różne jego wielokrotności i podwielokrotności będą liczbami całkowitymi i wymiernymi. Ale gdy spróbujesz nim odmierzyć inny kąt, który w mierze stopniowej był wymierny, w mierze prostokąta 2x1 wyjdzie niewymierny. Podobnie gdy spróbujesz nim odmierzyć kąt 1 radiana lub kąt w półkolu (spróbuj i przekonaj się sama!).

Ucieszylam sie, gdy znalazlam pojecia takie jak geometria analityczna i syntetyczna.

Pojęcia fajne, ale to są właśnie takie definicje "od dupy strony", czy jak kto woli "pchanie wozu przed koniem". Bo owszem, w geometrii analitycznej można bardzo łatwo powiedzieć, że linia jest prosta, podając określony wzór dla punktów leżących na tej linii: y = a x + b. Ale żeby to zrobić, potrzebujesz najpierw układu współrzędnych, by móc zlokalizować położenie tych punktów x i y i by zaznaczać w nim punkty wykresu czy innej figury o odmierzać długości jej boków i kąty. Jeśli jednak zastanowisz się, jak zbudować układ współrzędnych, to zauważysz, że nie da się tego zrobić bez użycia pojęć takich jak linia prosta czy kąt. I zaczynasz kręcić się w kółko, bo wychodzi na to, że aby zdefiniować linię prostą, to musisz już mieć definicję linii prostej! :P (żeby móc wyznaczyć osie układu współrzędnych).

Współczesnym matematykom może się wydawać, że są mądrzejsi od starożytnych, bo robią coś inaczej niż ta banda starych dziadków z przeszłości, że myślą "out of the box". Ale myślisz, że te stare dziadki z przeszłości nie rozważały już kiedyś tych samych problemów, o które dziś potykają się współcześni? Może to, że o nich nie pisali, wynika po prostu z faktu, że uznali je za ślepe uliczki? :P :J Obecnie mógłbym tak stwierdzić już o wielu wymysłach nowoczesnej matematyki, bo wiele z nich przeanalizowałem, i doszedłem do wniosku, że jednak stare dziadki z przeszłości są nie do pobicia Mrugnięcie Trzeba tylko rozumieć, dlaczego zrobili coś tak, a nie inaczej.

Share this topic on FacebookShare this topic on GoogleShare this topic on MagnoliaShare this topic on TwitterShare this topic on Google buzz 

Zapisane

Naukowy kącik kwantowy Saska:  http://nauka.mistu.info/  usmiech
Ostatnio dodane artykuły: Splątanie kwantowe rozplątane
Strony: « 1 2 3 4 5 »   Do góry
  Drukuj  
 
Skocz do:  

Powered by SMF 1.1.21 | SMF © 2006-2009, Simple Machines
BlueSkies design by Bloc | XHTML | CSS