logo
 
Witamy, Gość. Zaloguj się lub zarejestruj.

Zaloguj się podając nazwę użytkownika, hasło i długość sesji

Autor Wątek: 3. Podstawowe pojęcia  (Przeczytany 62051 razy)

0 użytkowników i 1 Gość przegląda ten wątek.

Offline Lady F

  • Zaawansowany użytkownik
  • ****
  • Wiadomości: 286
  • Merlin
    • Zobacz profil
Odp: 3. Podstawowe pojęcia
« Odpowiedź #30 dnia: Marzec 06, 2014, 11:59:15 »
Po przeczytaniu postu Leszka, zaczelam zastanawiac sie nad trescia i narysowalam taki trojkat, aby sprawdzic ile wynasza w nim katy alfa i beta, bo w takiej proporcji zawsze beda stale. I po skonstruowaniu takiego trojkata, w ktorym jedna przyprostokatna jest dwa razy dluzsza od drugiej, wymierzylam kilkoma (!) katomierzami alfe i bete. Wyszlo mi jeden 64° a drugi 26°.

Posluzylam sie kalkulatorkiem (niestety tylko  ;) 9 miejsc po przecinku), aby sprawdzic co maszynka mi odpowie na pytanie ile wynosi tg 26° i tg 64°.
Odpowiedz blyskawiczna - tg 26° = 0,487732588,  a tg 64° = 2,050303842.

W tym momencie zrenice rozszerzyly sie u mnie, bo z definicji szkolnej funkcji trygonometrycznych na podstawie trojkata Pitagorasa tg alfa i beta wynosilby odpowiednio 2 lub 1/2.

Zastanowilo mnie to niezmiernie, i sklonilo do wysnucia wniosku, ze obliczanie funkcji tangensa nie dotyczy konstrukcji dwu-wymiarowych.

Offline SasQ

  • Collegium Invisible
  • Zaawansowany użytkownik
  • *
  • Wiadomości: 290
  • Płeć: Mężczyzna
  • Quanta rhei... :-)
    • Jabber/AQQ
    • Zobacz profil
    • Naukowy kącik kwantowy
    • Email
Odp: 3. Podstawowe pojęcia
« Odpowiedź #31 dnia: Marzec 06, 2014, 13:43:53 »
Po pierwsze, kątomierz ma ograniczoną dokładność. Nie zmierzysz nim kąta dokładniej, niż 1 stopień, bo co tyle są kreski na podziałce, a faktyczne kąty w tym trójkącie leżą gdzieś pomiędzy tymi kreskami; mieszczą się w granicach 63..64 stopnie oraz 26..27 stopni. Taka dokładność jest niestety niewystarczająca do udowodnienia czegokolwiek. Tego nie udowadnia się pomiarami, tylko algebraicznie. Niestety obawiam się, że żaden kątomierz, choćby nie wiem jak dokładny, nam tutaj nie pomoże, bo oba te kąty są niewymierne: cyfry po przecinku ciągną się bez końca i nie powtarza się w nich żaden wzorzec.

Po drugie, zabrałaś się do tego "od dupy strony" ;) Przecież znasz proporcje boków, a chcesz poznać kąt, a nie na odwrót. Więc zamiast liczyć tangens, powinnaś raczej policzyć jego odwrotność: arcus tangens, który podaje Ci kąt, gdy podasz mu stosunek przyprostokątnych. Innymi słowy, rozwiązać równanie dla nieznanego kąta k. Wiemy, że:
      tan k  =  2/1
bierzemy arcus tangens obu stron równania, by skasować tangens po lewej stronie:
      arctan(tan k) = arctan(2)
      k = arctan(2)
Według mojego kalkulatora, ten kąt to około 63.43494882... stopni, lub 1.107148718... radiana.
Ten drugi obliczasz podobnie, tylko zamiast dwójki wstawiasz połówkę:
      k = arctan(1/2)
i kalkulator mówi, że ten kąt to około 26.56505118... stopni lub 0.463647609... radiana.
Więc na pewno nie są to kąty równe 64 i 26.
Kąty 64 i 26 z kolei wyjdą dla boków w zupełnie innym stosunku: jeden z nich będzie nieco dłuższy od 2 (jak słusznie policzyłaś: tan 64° = 2,050303842... > 2/1), lub ten drugi nieco krótszy od połowy pierwszego (tan 26° = 0,487732588... < 1/2).

W tym momencie zrenice rozszerzyly sie u mnie, bo z definicji szkolnej funkcji trygonometrycznych na podstawie trojkata Pitagorasa tg alfa i beta wynosilby odpowiednio 2 lub 1/2.

Tylko jeśli kąty byłyby właściwe ;) Nieco inne, niż 26 i 64.
Jeśli jednak uprzesz się przy takich kątach, to odpowiednio boki muszą być inne, niż 2 : 1.

Zastanowilo mnie to niezmiernie, i sklonilo do wysnucia wniosku, ze obliczanie funkcji tangensa nie dotyczy konstrukcji dwu-wymiarowych.

Dotyczy, tylko trzeba umieć się nimi poprawnie posługiwać ;)
Dlaczego miałoby nie dotyczyć, skoro właśnie w dwóch wymiarach te funkcje zostały zdefiniowane?

A jeśli masz jakieś wątpliwości co do tego, skąd kalkulator "wie" jake cyferki po przecinku mają te kąty (czyli jak kalkulator oblicza ten arcus tangens), to możesz zrobić to również sama:

Z rachunku różniczkowego wiemy, że funkcję arcus tangens można rozpisać jako bardzo prosty szereg potęgowy:

arctan(x)   =   x  -  x3/3  +  x5/5  -  x7/7  +  x9/9  -  x11/11  +  ...

czyli kolejne nieparzyste potęgi iksa (stosunku boków) dzielisz przez kolejne nieparzyste liczby, na przemian odejmując i dodając kolejne składniki. Żeby dostać wynik dokładny, musiałabyś dodać nieskończenie wiele takich składników, bo jest to szereg nieskończony. Ale jeśli wystarczy Ci przybliżenie (a zakładam, że tak, skoro używasz kalkulatora), to każdy kolejny składnik tej sumy poprawia dokładność wyniku, więc możesz dodać ich tak dużo, aż otrzymasz zadowalającą Cię liczbę miejsc po przecinku, i wtedy możesz przerwać ;) (bo kolejne składniki będą już coraz mniej poprawiać ten wynik, utwierdzając coraz dalsze cyfry po przecinku). Jeśli tylko ufasz dodawaniu, odejmowaniu, potęgowaniu i dzieleniu, to powyższe obliczenia dadzą Ci wartość kąta, przybliżoną do tylu miejsc po przecinku, ile potrzebujesz. (Dodam, że różnica już od 3 miejsca po przecinku jest zwykle nie do zauważenia na rysunkach odręcznych ;P ).

Aha, ważna uwaga: tak obliczony kąt jest wyrażony w radianach! Jeśli wolisz w stopniach, podziel wynik przez pi i pomnóż przez 180. No i szereg jest zbieżny tylko dla stosunków mniejszych od 1. Jeśli potrzebujesz większe, policz dla mniejszego i skorzystaj z symetrii ;)

Przykładowo tak wyglądają moje obliczenia tego kąta dla stosunku 1 : 2 tą metodą, dla kilku pierwszych składników (podstawiam 1/2 jako x i dodaję odpowiednią liczbę składników):

Składników:     Kąt przybliżony ułamkiem:        Kąt przybliżony dziesiętnie:
        1                              1 / 2                    =   0.5000000000000...
        2                            11 / 24                  =   0.4583333333333...
        3                          223 / 480                =   0.4645833333333...
        4                        6229 / 13440            =   0.4634672619047...
        5                      74783 / 161280          =   0.463684275793650...
        6                  3290137 / 7096320        =   0.46363988658910533...
        7              171090589 / 369008640    =   0.4636492766131438006...
        8              684359353 / 1476034560  =   0.463647242107935467310...
       ...

Jak widać, każdy kolejny składnik stabilizuje z grubsza kolejną cyferkę poprzecinku. Takie cyferki zaznaczam na niebiesko, gdy w następnym kroku nie uległa już zmianie (to dlatego, że każdy następny składnik doda już mniej, niż 1/10 poprzedniego wyniku, więc nie poprawi już tej cyferki). Okresową część rozwinięcia dziesiętnego podkreśliłem.

Według mojego kalkulatora dokładniejszy wynik byłby arctan(1/2) = 0.463647609... radiana. Jeśli podzielisz przez pi i pomnożysz przez 180, to dostaniesz wynik w stopniach: 26.56505118... stopni. Więc jak widać działa :)
« Ostatnia zmiana: Marzec 06, 2014, 14:07:21 wysłana przez SasQ »
Naukowy kącik kwantowy Saska:  http://nauka.mistu.info/  :-)
Ostatnio dodane artykuły: Splątanie kwantowe rozplątane

Offline Lady F

  • Zaawansowany użytkownik
  • ****
  • Wiadomości: 286
  • Merlin
    • Zobacz profil
Odp: 3. Podstawowe pojęcia
« Odpowiedź #32 dnia: Marzec 07, 2014, 09:57:11 »
SasQ -

Cytuj
zabrałaś się do tego "od dupy strony"
  :zdziwko:

Domyslalam sie, ze to cos takiego o czym napisales powyzej szczegolowo i bardzo rzeczowo, ale nie mam takiej wiedzy w temacie, aby to fachowo udokumentowac. Zrobiles to za mnie, bo byc moze byl to rodzaj kopa w d.... w ten sposob pobudzam oporniki do myslenia i aktywnosci ruchowej :taaak:

A wiec funkcja arcus tangens nie pomyslalam, dzieki!  :papapa:




Offline Leszek

  • Administrator
  • Ekspert
  • *****
  • Wiadomości: 1764
    • Status GG
    • Zobacz profil
    • swietageometria.info
    • Email
Odp: 3. Podstawowe pojęcia
« Odpowiedź #33 dnia: Marzec 08, 2014, 10:19:35 »
SasQ, dobrze, że tu jesteś...
Jesteś takim "zbrojnym ramieniem matematyki" ;)
Badałeś związek twierdzenia Pitagorasa i trójkąta Keplera z Układem Słonecznym?

P.S
Zmykam na weekend jakby co.
Pamiętaj o kobiecej wrażliwości... ;)




Offline Lady F

  • Zaawansowany użytkownik
  • ****
  • Wiadomości: 286
  • Merlin
    • Zobacz profil
Odp: 3. Podstawowe pojęcia
« Odpowiedź #34 dnia: Marzec 09, 2014, 12:27:27 »
Ja tez ciesze sie, ze SasQ tu jest.
Tym razem zabieram sie do rzeczy od "przodka" strony ;)

SasQ -

Cytuj
Po pierwsze, kątomierz ma ograniczoną dokładność. Nie zmierzysz nim kąta dokładniej, niż 1 stopień, bo co tyle są kreski na podziałce, a faktyczne kąty w tym trójkącie leżą gdzieś pomiędzy tymi kreskami; mieszczą się w granicach 63..64 stopnie oraz 26..27 stopni. Taka dokładność jest niestety niewystarczająca do udowodnienia czegokolwiek. Tego nie udowadnia się pomiarami, tylko algebraicznie

Jakos nie dawalo mi to spokoju, ze za swietosc przyjmuje sie 90° i od tego wyznacza niby niewymierne katy alfa i beta. Zaczelam zastanawiac sie dlaczego? Bo przyroslismy do matematyki Pitagorejskiej chyba troche za sztywno.

Ucieszylam sie, gdy znalazlam pojecia takie jak geometria analityczna i syntetyczna.

"Przez sto lat z górą, licząc od wprowadzenia algebry do geometrii, metody algebraiczne i analityczne zdominowały geometrię do tego stopnia, że metoda syntetyczna, oparta na wnioskowaniu z aksjomatów, została w tym czasie niemal zupełnie zepchnięta w cień. Niektórzy posuwali się nawet do poglądu, że metoda syntetyczna pozostanie językiem martwym, bez znaczenia i bez wpływu. Jak bardzo się mylili, pokazał wiek XIX.

Odrodzenie metody syntetycznej miało kilka źródeł. Jednym z nich był postęp w badaniach Postulatu Równoległości (p. niżej), tu natomiast powiemy o innych. Niektórzy mianowicie krytykowali metody algebraiczne i analityczne, uważając je za obce geometrii. Mówili, że w geometrii analitycznej algebra dominuje do tego stopnia, iż można tę geometrię uważać za część algebry (w istocie, w XX wieku geometria analityczna została wchłonięta przez algebrę liniową), natomiast w geometrii różniczkowej otrzymuje się wprawdzie godne uwagi rezultaty, jednakże metody analizy matematycznej nie pozwalają na jasne uchwycenie związku między punktem wyjścia a końcowym rezultatem, podczas gdy geometria wymaga prostych i intuicyjnie oczywistych dowodów. Podnosili też argument, że geometria jest prawdziwą nauką o przestrzeni, natomiast metody analizy nie mają solidnych podstaw, są więc niekompletne, a nawet logicznie wątpliwe. Przykładem ostrości tych polemik jest list Steinera (wybitnego geometry syntetycznego) do redakcji czasopisma Journal für Mathematik, że jeśli jego redaktor Crelle będzie w nim nadal publikował prace Plückera (wybitnego geometry analitycznego), to on przestanie przysyłać własne.

W duchu syntetycznym odrodziła się geometria rzutowa. Wyrosła z badań nad perspektywą malarską, miała za sobą krótki okres rozwoju w XVII wieku dzięki pracom Desarguesa i Pascala. Gerard Desargues (1591-1661) był oficerem, inżynierem i architektem, który w ramach swoich zainteresowań matematycznych podjął problem perspektywy malarskiej i sformułował szereg pojęć, które nadały mu znaczenie matematyczne. Blaise Pascal (1623-1662) te koncepcje podchwycił i dodał parę własnych twierdzeń. Prace obu zostały jednak rychło zapomniane (matematyka żyje tylko wtedy, gdy ktoś ją zna i rozwija) i geometrzy XIX-wieczni tworzyli podstawy geometrii rzutowej na nowo [Bibliografia]. Wybitnym geometrą był G. Monge (1746-1818) i odrodzenie geometrii rzutowej było dziełem jego uczniów. Pierwszy był L.N.M. Carnot (1753-1823), którego idee podjęli F.J. Servois i C.J. Brianchon (1788-1867), największy jednak bodziec dał J.V. Poncelet (1788-1867). Był to oficer armii napoleońskiej, który dwa lata spędzone w rosyjskiej niewoli w Saratowie poświęcił na rekonstrukcję z pamięci tego wszystkiego, czego się nauczył od Monge’a i Carnota, po czym zaczął te idee samodzielnie rozwijać. Wiodącym motywem jego głównego dzieła [Bibliografia] było poszukiwanie takich własności, które nie ulegają zmianie przy rzutowaniu, czyli niezmienników geometrii rzutowej. Pierwszy zrozumiał, że geometria rzutowa stanowi odrębną gałąź geometrii (i matematyki), mającą własne cele i metody, a w konsekwencji także specyficzne niezmienniki.

Dalszy rozwój geometrii rzutowej był dziełem geometrów niemieckich. Jako pierwszy idee Francuzów podjął J. Steiner (1796-1863), którego myślą przewodnią było budowanie złożonych struktur w oparciu o proste, np. stożkowe definiował jako miejsca przecięcia dwóch „rzutowo” powiązanych pęków prostych [Bibliografia]. W swoich badaniach zaszedł daleko, m.in. posługiwał się zasadą dualności. Od posługiwania się euklidesowym pojęciem długości, które oczywiście nie jest niezmiennikiem rzutowym, uwolnił geometrię rzutową K.G.C. von Staudt (1798-1867), sugerując jednocześnie, że geometria rzutowa jest bardziej pierwotna od geometrii euklidesowej [Bibliografia]. Ściśle to wykazał nieco później F. Klein (p. niżej)."

zrodlo: http://jaszczur.czn.uj.edu.pl/mod/book/view.php?id=1896&chapterid=10976

A stary poczciwy katomierz doprowadzil mnie do takiego wnioskowania : (za wiki)

http://swietageometria.info/s/di-A6JR.gif
3. Podstawowe pojęcia


Jednostki trygonometryczne (a moze wlasciwiej byby nazwac goniometryczne) ukazuje jedna o nazwie sec.

Czyzby tylko o secans chodzilo? A moze o jednostke, ktora my uznajemy jako miare "czasu"?

"Droga przebyta przez światło w czasie 1 sek , nie zależy od jednostek długości przyjętej przez obserwatora. Jest ona bowiem taka sama teraz, jak była przed tysiącami lat i taka będzie za kolejne tysiące lat. Zatem drogę przebytą przez światło, możemy uznać jako wzorzec (miarę długości)."

Polecam ciekawe zrodlo: https://aleksanderkosowski.wordpress.com/tag/trojkat-pitagorejski/

Waznym pojeciem jest radian, nie tylko w matematyce, lecz glownie w przekazie energii i informacji.

http://swietageometria.info/s/di-NVE0.gif
3. Podstawowe pojęcia


http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/67/2pi-unrolled.gif
3. Podstawowe pojęcia


Prawidlowa interpretacje figur planimetrycznych mozna uzyskac jedynie przy wprowadzeniu terminu wektory.

zrodlo: http://kielich.amu.edu.pl/Stefan_Banach/pdf/mechanika/01-1.pdf

A pozniej juz droga otwarta do zrozumienia pojecia iloczynu skalarnego.

"Iloczyn skalarny – w matematyce pewna forma dwuliniowa na danej przestrzeni liniowej, tj. dwuargumentowa funkcja o szczególnych własnościach przyporządkowująca dwóm wektorom danej przestrzeni liniowej wartość skalarną. Czasami spotyka się również nazwę iloczyn wewnętrzny, który zwykle odnosi się jednak do ogólnych iloczynów skalarnych wprowadzanych w abstrakcyjnych przestrzeniach liniowych nazywanych wtedy przestrzeniami unitarnymi; przestrzenie afiniczne z wyróżnionym iloczynem skalarnym nazywa się przestrzeniami euklidesowymi.

Zasadniczym celem wprowadzania iloczynu skalarnego w danej przestrzeni liniowej jest wprowadzenie na niej geometrii euklidesowej, w szczególności kąta między dwoma wektorami, co umożliwia mówienie o ich prostopadłości (nazywanej w tym kontekście ich ortogonalnością, która jest nieznacznym uogólnieniem) oraz obrotu. Iloczyn skalarny stanowi więc pomost między geometrią syntetyczną a geometrią analityczną. Ponieważ trójwymiarowa przestrzeń euklidesowa jest dobrym przybliżeniem świata rzeczywistego w skali makroskopowej, to iloczyn skalarny w niej określony znajduje zastosowanie fizyce klasycznej, np. mechanice klasycznej (branie rzutów wektora siły wypadkowej jest tego przykładem); z kolei w mechanice kwantowej rozpatruje się (nieskończeniewymiarowe) przestrzenie Hilberta, czyli przestrzenie liniowe (nieskończonego wymiaru) z iloczynem skalarnym i dodatkową strukturą topologiczną (zob. Uogólnienia). Przykładowo praca mechaniczna \scriptstyle W to wielkość fizyczna wyrażająca się jako iloczyn skalarny siły \scriptstyle \mathbf F oraz przemieszczenia \scriptstyle \mathbf r.


A wiec Wiki podaje jako baze przestrzen euklidesowa, ktora jest definiowana przez geometrie syntetyczna, o czym wspominalam na wstepie.



 


« Ostatnia zmiana: Kwiecień 07, 2014, 11:04:58 wysłana przez Leszek »

Offline SasQ

  • Collegium Invisible
  • Zaawansowany użytkownik
  • *
  • Wiadomości: 290
  • Płeć: Mężczyzna
  • Quanta rhei... :-)
    • Jabber/AQQ
    • Zobacz profil
    • Naukowy kącik kwantowy
    • Email
Odp: 3. Podstawowe pojęcia
« Odpowiedź #35 dnia: Marzec 09, 2014, 14:53:15 »
No fajnie nawrzucałaś sporo cytatów całych sporych fragmentów z różnych źródeł, tylko jakoś nie mogę dojść do tego, w jakim celu i jakie są Twoje wnioski z tego wszystkiego; do czego z tym wszystkim zmierzasz.

Jakos nie dawalo mi to spokoju, ze za swietosc przyjmuje sie 90°

Gdzie się przyjmuje za świętość?
Jeśli już, to przyjmuje się kąt prosty sam w sobie (niezależnie od miary), i nie za "świętość", tylko po prostu za dość szczególny kąt, który ma swoje specjalne i użyteczne właściwości. Już mówię dlaczego:

Jak pewnie wiesz, każde koło ma ten sam stosunek średnicy (linii prostej) do obwodu (szczególnej linii krzywej). Tym stosunkiem jest liczba pi, w każdym kole taka sama. Można ją uznać za stosunek między drogą z jednego końca koła na drugi "na wprost", a drogą "okrężną" po jednym z półkoli (oba są jednakowej długości, więc możesz sobie wybrać swoje ulubione ;)). Tak więc wiemy, że długość łuku półkola to pi.

Według "Elementów" Euklidesa, takie półkole nie tworzy jeszcze kąta, bo linia prosta się nigdzie nie załamuje. Ale gdy już ją złamiemy, powstanie narożnik (kąt), i będzie on miał jakąś miarę.

Istnieje wiele różnych kątów o różnej mierze, ale jeden z nich jest szczególny, bo po obu stronach linii, która go tworzy z inną linią, daje tę samą ilość przestrzeni; a z półkola odcina dwie równe części: dwa równe łuki o długości pi / 2. Ten kąt to właśnie jest kąt prosty. Gdy uzyskasz taki kąt, to linie tworzące ten kąt są do siebie prostopadłe. I na tym polega jego wyjątkowość.

Możesz sama intuicyjnie dojść do tego kąta: Wytnij sobie z papieru równe kółko i przetnij na pół. Teraz spróbuj przeciąć to półkole w taki sposób, by oba kawałki papieru były jednakowo duże. Jeśli zrobisz to w taki sposób, to pewnie zauważysz sama, że musisz go przeciąć pod kątem prostym, bo inaczej któraś z części będzie większa od drugiej.

Euklides w "Elementach" nie używał dla niego żadnej miary (w szczególności nie używał miary stopniowej, 90°), bo absolutne wartości kątów nie były mu do niczego potrzebne, gdyż używał geometrii w sposób "algebraiczny". Interesowały go jedynie zależności między kątami (np. czy dane dwa kąty są równe, czy może któryś z nich jest większy, a jeśli tak, to ile razy jeden jest większy od drugiego).

I w zasadzie wszystkie miary kątów, których używamy, opierają się na takim porównywaniu, bo każdy pomiar polega na porównaniu nieznanej wielkości z jakąś znaną, wzorcową (jednostką).

Np. w przypadku miary w radianach odmierzamy na obwodzie długość jednego promienia i to jest nasz wzorcowy kąt (1 radian). pi takich kątów mieści się na obwodzie jednego półkola (które, pamiętajmy, dla Greków było maksymalnie rozwartym kątem, tworzącym już linię prostą bez załamania).

Podobnie w przypadku miary stopniowej obwód koła został podzielony na 360 równych części. Jedna z nich to stopień, i wszystkie inne kąty są porównywane z nią: ile razy ten stopień mieści się w nieznanym kącie.

Co ciekawe, miara 360-stopniowa, którą znamy od Babilończyków, też wydaje się opierać na kącie prostym, który dzieli obwód koła na 4 równe części. Jeśli następnie wpiszemy w niego dwa trójkąty równoboczne, przeciwnie zorientowane (pierwiastek męski + żeński, tworzące razem Gwiazdę Dawida), i wyznaczymy w ten sposób wierzchołki sześciokąta, to podzielimy w ten sposób każdą ćwiartkę na jeszcze trzy części, co daje razem 12 równych części (patrz 12 godzin, 12 znaków Zodiaku na ekliptyce, 12 miesiący w roku itd.).
12 to liczba wszechstronna: ma więcej podzielników, niż każda liczba przed nią. Takie liczby świetnie się nadają na jednostki miar i wag, bo pozwalają na tworzenie wielu różnych kombinacji i wzorców (więcej niż inne liczby złożone mniejsze od nich).
Jeśli teraz dodamy pentagram, który dzieli obwód koła na 5 równych części, to uzyskamy 5*12=60 jako liczbę różnych możliwych kombinacji ułożenia tych dwóch figur (patrz 60 minut w godzinie i 60 sekund w minucie, oraz system sześćdziesiętny używany przez Babilończyków).
Stąd już niedaleko do 360=60*6 ;)

Warto też podkreślić, że wszystkie miary kątów można rozumieć jako odcinanie fragmentów łuku z obwodu koła. To przydatna informacja, bo ułatwia zrozumienie trygonometrii ;) w której wcale nie chodzi o trójkąty, tylko właśnie o koła, obroty i wirowanie. Babilończycy używali jej oryginalnie do mierzenia ruchów ciał niebieskich na sferze niebieskiej i wyznaczania odległości między nimi.

i od tego wyznacza niby niewymierne katy alfa i beta.

To, czy dany kąt będzie wymierny, czy niewymierny, nie zależy od niego samego, tylko od wyboru jednostki. Przykładowo jeśli użyjesz jednostki O, którą wymyśliłem sobie kiedyś na potrzeby obliczeń kątów w wielokątach foremnych, to wszystkie kąty w wielokątach foremnych będą wymierne ;) 1 O to jeden obwód koła. Kąt po obu stronach linii to O/2. Kąt prosty to O/4. Kąt w trójkącie równobocznym to O/3. W pięciokącie O/5. W sześciokącie O/6 itd. Tę jednostkę też dość łatwo przelicza się na radiany, zastępując O wartością obwodu koła, czyli 2 pi ;) Ale nawet dla tej wygodnej jednostki mogą istnieć kąty niewymierne, np. takie jak ten w prostokącie 2x1. Nie da się też uciec od przestępnej liczby pi, bo wyskoczy ona wtedy w zupełnie innym miejscu: gdy spróbujesz wyrazić kąt 1 radiana, bo skoro 2 pi takich kątów mieści się w jednym O, to ten kąt wynosi O / (2 pi).

Równie dobrze mogłabyś wybrać rozmiar kąta w trójkącie 2x1 jako swój kąt jednostkowy, nazwijmy go P (jak prostokąt). Wtedy różne jego wielokrotności i podwielokrotności będą liczbami całkowitymi i wymiernymi. Ale gdy spróbujesz nim odmierzyć inny kąt, który w mierze stopniowej był wymierny, w mierze prostokąta 2x1 wyjdzie niewymierny. Podobnie gdy spróbujesz nim odmierzyć kąt 1 radiana lub kąt w półkolu (spróbuj i przekonaj się sama!).

Ucieszylam sie, gdy znalazlam pojecia takie jak geometria analityczna i syntetyczna.

Pojęcia fajne, ale to są właśnie takie definicje "od dupy strony", czy jak kto woli "pchanie wozu przed koniem". Bo owszem, w geometrii analitycznej można bardzo łatwo powiedzieć, że linia jest prosta, podając określony wzór dla punktów leżących na tej linii: y = a x + b. Ale żeby to zrobić, potrzebujesz najpierw układu współrzędnych, by móc zlokalizować położenie tych punktów x i y i by zaznaczać w nim punkty wykresu czy innej figury o odmierzać długości jej boków i kąty. Jeśli jednak zastanowisz się, jak zbudować układ współrzędnych, to zauważysz, że nie da się tego zrobić bez użycia pojęć takich jak linia prosta czy kąt. I zaczynasz kręcić się w kółko, bo wychodzi na to, że aby zdefiniować linię prostą, to musisz już mieć definicję linii prostej! :P (żeby móc wyznaczyć osie układu współrzędnych).

Współczesnym matematykom może się wydawać, że są mądrzejsi od starożytnych, bo robią coś inaczej niż ta banda starych dziadków z przeszłości, że myślą "out of the box". Ale myślisz, że te stare dziadki z przeszłości nie rozważały już kiedyś tych samych problemów, o które dziś potykają się współcześni? Może to, że o nich nie pisali, wynika po prostu z faktu, że uznali je za ślepe uliczki? :P :J Obecnie mógłbym tak stwierdzić już o wielu wymysłach nowoczesnej matematyki, bo wiele z nich przeanalizowałem, i doszedłem do wniosku, że jednak stare dziadki z przeszłości są nie do pobicia ;) Trzeba tylko rozumieć, dlaczego zrobili coś tak, a nie inaczej.
Naukowy kącik kwantowy Saska:  http://nauka.mistu.info/  :-)
Ostatnio dodane artykuły: Splątanie kwantowe rozplątane

Offline Lady F

  • Zaawansowany użytkownik
  • ****
  • Wiadomości: 286
  • Merlin
    • Zobacz profil
Odp: 3. Podstawowe pojęcia
« Odpowiedź #36 dnia: Marzec 10, 2014, 09:55:33 »
SasQ -

Cytuj
No fajnie nawrzucałaś sporo cytatów całych sporych fragmentów z różnych źródeł, tylko jakoś nie mogę dojść do tego, w jakim celu i jakie są Twoje wnioski z tego wszystkiego; do czego z tym wszystkim zmierzasz.

Zauwazylam, ze wdarlo sie do teorii nauk scislych wiele niepoprawnych pojec, wiec analizuje sobie krok po kroczku, a jak zauwaze, ze cos "mi nie gra" to pytam glosno. Wykorzystuje te platforme forumowa, bo kiedys myslalam, ze skupia wlasnie pasjonatow nauk matematycznych i pokrewnych.

Jak wiesz interesuje sie pracami profesora K. Meyla dotyczacymi systemow komunikacyjnych i fal skalarnych. Spojrz powyzej na gif, ktory wstawilam, tam gdzie pojawiaja sie trzy koleczka i obracja w prawa strone. Czy nie rozpoznajesz w tym czegos "fizycznego"?  ;) Tak wlasnie dziala dipol. I tylko fale skalarne (poprzeczne) niosa informacje i energie, a pozostale (podluzne) sa tylko promieniowaniem (w wielkim skrocie).
Oczywiscie ogromna role odgrywa manipulacja fazy, dostrajanie, (oszukiwanie :nieeeee:) niestety...
Stad moje zainteresowanie miarami katowymi, i dzieki za piekny wyklad, wiele w tym racji, ale ja jednak (dzieki naukom Profesora Meyl'a) uwazam, ze nie ma linii prostej. Kiedys Lucyfer wstawial taki obracajacy sie "dekielek"  :D: chyba tez na potwierdzenie tego zalamania liniowego.
Idac jeszcze dalej i drazac doglebniej to to zalamanie wcale nie bedzie zakrecach i laczyc poczatek z koncem /poczatek i koniec to atrybuty wektora wlasnie/, lecz przejdzie w forme spiralna.

I wlasnie to mnie interesuje, a tu akurat Leszek pokazal ciekawy trojkat, wiec skusilam sie, aby przyjrzec sie temu z bliska. Zaskoczylo mnie, ze katomierz (choc niedokladnie moze) pokazal liczby 26 i 64, ktore w informatyce maja swoje "zaszczytne" ;) miejsce.

Pisalam powyzej, ze wlasciwie nalezy operowac wektorami, o tym wlasnie sa te zrodla (ktore nalezy uwaznie przeczytac) zwlaszcza o rzutowaniu.

http://www.if.pw.edu.pl/~bibliot/archiwum/adamczyk/WykLadyFO/FoWWW_02.html

"Iloczyn skalarny opisuje sposób w jaki oba wektory widzą siebie nawzajem, czyli jak długi cień rzuca każdy z wektorów na swojego partnera gdy kąt miedzy nimi wynosi φ"

//a o to fi chodzi wlasnie w trojkacie Keplera//  :oczko:







Offline Lucyfer

  • Administrator
  • Ekspert
  • *****
  • Wiadomości: 609
    • Zobacz profil
    • Email
Odp: 3. Podstawowe pojęcia
« Odpowiedź #37 dnia: Marzec 12, 2014, 12:12:37 »
Cytat: SasQ
Współczesnym matematykom może się wydawać, że są mądrzejsi od starożytnych, bo robią coś inaczej niż ta banda starych dziadków z przeszłości, że myślą "out of the box". Ale myślisz, że te stare dziadki z przeszłości nie rozważały już kiedyś tych samych problemów, o które dziś potykają się współcześni? Może to, że o nich nie pisali, wynika po prostu z faktu, że uznali je za ślepe uliczki? :P :J Obecnie mógłbym tak stwierdzić już o wielu wymysłach nowoczesnej matematyki, bo wiele z nich przeanalizowałem, i doszedłem do wniosku, że jednak stare dziadki z przeszłości są nie do pobicia Mrugnięcie Trzeba tylko rozumieć, dlaczego zrobili coś tak, a nie inaczej.

Aby uczcić starych dziadków :) przypominam że już za 2 dni możemy świętować " Dzień liczby PI"  :tort:

Datę 14 marca w notacji amerykańskiej zapisuje się jako 3.14, co kojarzy się z przybliżeniem liczby pi. Wiele amerykańskich szkół obchodzi wtedy święto matematyki tzw. Pi Day
Pierwsze obchody tego dnia miały miejsce w 1988 w muzeum nauki Exploratorium w San Francisco, z inicjatywy Larry'ego Shawa. W języku angielskim słowa pi oraz pie (ciasto, placek) mają zbliżoną wymowę, a placki często są okrągłe. Z tego powodu w Dniu Liczby Pi podawanymi daniami są pizza pie (placki pizzy), apple pie (szarlotka) i inne podobne ciasta.

Pi możemy świętować również 22 lipca


Liczba π (długość jednostkowego półokręgu lub pole jednostkowego koła) interesowała matematyków od dawna. Już w III wieku p.n.e. Archimedes oszacował jej wartość z dokładnością do 0.002, przybliżając obwód koła z góry i z dołu obwodami wpisanego weń i opisanego na nim 96-kąta foremnego. Jest on również wynalazcą słynnego wymiernego przybliżenia liczby π jako 22/7, co daje lepszą dokładność niż poprzednie przybliżenie i jest nie tylko najlepszym wśród ułamków o mianowniku nie większym od 7, ale wśród wszystkich dat rocznych w polskiej notacji (i rzecz jasna lepszym niż 3,14). To za sprawą tego właśnie przybliżenia liczba π nazywana była liczbą Archimedesa.

źródła:
http://www.matematyka.wroc.pl/doniesienia/miedzynarodowy-dzien-liczby-pi
http://pl.wikipedia.org/wiki/Dzie%C5%84_Liczby_Pi

Związek z Eneagramem

22/7≈3,142857...


Co może jeszcze w sobie skrywać ta tajemnicza struktura?  :mysl:

1) http://swietageometria.info/iu/di-SUTF.png
3. Podstawowe pojęcia


2) http://swietageometria.info/iu/di-EOSQ.png
3. Podstawowe pojęcia


Mi ukazały się dwa dynamiczne sześciokąty  >:D
Zapraszam do zabawy

« Ostatnia zmiana: Kwiecień 07, 2014, 11:07:24 wysłana przez Leszek »

Offline Leszek

  • Administrator
  • Ekspert
  • *****
  • Wiadomości: 1764
    • Status GG
    • Zobacz profil
    • swietageometria.info
    • Email
Odp: 3. Podstawowe pojęcia - FIbonacci, kompilacja
« Odpowiedź #38 dnia: Kwiecień 13, 2014, 21:07:08 »
Poniższą kompilację można by nazwać "Liczby Fibonacciego wokół nas". Jak pisze jej autor "W produkcji tej starałem się pokazać jak najwięcej przykładów obecności złotej liczby w różnych dziedzinach życia, ale też jednocześnie nie pozwoliłem sobie na utratę naukowego obiektywizmu."
Jak by jej nie oceniać, myślę że - summa summarum - warto dodać ją do istniejących już materiałów.

Tajemniczy ciąg Fibonacciego. Złota liczba. Boska proporcja.
<a href="http://www.youtube.com/watch?v=wb7kPaM8cfg" target="_blank">http://www.youtube.com/watch?v=wb7kPaM8cfg</a>
« Ostatnia zmiana: Kwiecień 13, 2014, 21:10:17 wysłana przez Leszek »

Offline Lucyfer

  • Administrator
  • Ekspert
  • *****
  • Wiadomości: 609
    • Zobacz profil
    • Email
Odp: 3. Podstawowe pojęcia
« Odpowiedź #39 dnia: Kwiecień 15, 2014, 11:21:27 »
Liczby Fibonacciego Hemaczandry w rytmice  :oczko:

<a href="http://www.youtube.com/watch?v=a3DWjs-2HAc" target="_blank">http://www.youtube.com/watch?v=a3DWjs-2HAc</a>

Hemaćandra( dewanagari हेमचन्द्र सूरी , transliteracja hemacandra sūrī , ang. Hemachandra , znany także jako Hemaćarja), poeta, filozof, językoznawca, leksykograf i logik dżinijski żyjący w latach 1088 lub 1089[1] - 1172, z Gudżaratu. Syn kupca. Będąc duchownym posiadał duże wpływy na dworze władców Gujaratu. Członek dżinijskiego odłamu śwetambarów. Napisał wiele dzieł w prakrycie.
http://pl.wikipedia.org/wiki/Hemaczandra
http://en.wikipedia.org/wiki/Hemachandra#Works

http://swietageometria.info/iu/di-AU8A.png
3. Podstawowe pojęcia