logo
 
Witamy, Gość. Zaloguj się lub zarejestruj.

Zaloguj się podając nazwę użytkownika, hasło i długość sesji

Autor Wątek: 3. Podstawowe pojęcia  (Przeczytany 68914 razy)

0 użytkowników i 1 Gość przegląda ten wątek.

Offline Leszek

  • Administrator
  • Ekspert
  • *****
  • Wiadomości: 1786
    • Status GG
    • Zobacz profil
    • swietageometria.info
    • Email
Odp: 3. Podstawowe pojęcia - Złota proporcja
« Odpowiedź #40 dnia: Czerwiec 01, 2014, 23:29:19 »
"Złota proporcja -- fundament natury i ludzkiej kreacji opartej na harmonii" to tytuł prezentacji Waldemara Gajewskiego wygłoszonej na I Zlocie Sympatyków NTV we Wrocławiu, 22 marca 2014 r.
<a href="http://www.youtube.com/watch?v=vJpnoQjfnjM" target="_blank">http://www.youtube.com/watch?v=vJpnoQjfnjM</a>
« Ostatnia zmiana: Czerwiec 02, 2014, 10:13:37 wysłana przez Leszek »

Offline Leszek

  • Administrator
  • Ekspert
  • *****
  • Wiadomości: 1786
    • Status GG
    • Zobacz profil
    • swietageometria.info
    • Email
Odp: 3. Podstawowe pojęcia
« Odpowiedź #41 dnia: Październik 28, 2014, 22:33:31 »
Do kolekcji...

http://swietageometria.info/s/di-TXWQ.png
3. Podstawowe pojęcia



Offline migoku

  • Użytkownik
  • **
  • Wiadomości: 28
  • Płeć: Mężczyzna
    • Zobacz profil
    • Pracownia Rękodzieła Fenome
    • Email
Odp: 3. Podstawowe pojęcia
« Odpowiedź #42 dnia: Luty 06, 2015, 21:57:54 »

Offline percepcja

  • Użytkownik
  • **
  • Wiadomości: 33
    • Zobacz profil
    • percepcja44
    • Email
Odp: 3. Podstawowe pojęcia
« Odpowiedź #43 dnia: Styczeń 30, 2019, 20:15:07 »
Jedna z ciekawszych konstrukcji złotego podziału oparta o trójkąt równoboczny wpisany w koło.

Przedstawioną konstrukcję zaproponował George Odom w 1983 roku.
Dotyczy to tylko tej części przedstawionej na rysunku jako stosunek zielonego odcinka i czerwonego odcinka.

Natomiast niektórzy dopisują bez sprawdzania i powielają błąd jakoby stosunek tych łuków też był złotą proporcją czego sam Odom nigdy nie proponował. Można to dość łatwo sprawdzić licząc stosunek kątów na których oparte są łuki.

http://i67.tinypic.com/dpegk7.jpg
3. Podstawowe pojęcia

źródło oryginalnej grafiki: https://joedubs.com/cosmic-creations-gallery-three/golden-george-odom-2/
dopisek biały własny

Jednak zainspirowało mnie to do zadania sobie pytania i Wam też forumowiczom. Czy znacie jakiś stosunek długości dwóch krzywych, który byłby stosunkiem złotej proporcji?

Offline SasQ

  • Collegium Invisible
  • Zaawansowany użytkownik
  • *
  • Wiadomości: 297
  • Płeć: Mężczyzna
  • Quanta rhei... :-)
    • Jabber/AQQ
    • Zobacz profil
    • Naukowy kącik kwantowy
    • Email
Odp: 3. Podstawowe pojęcia
« Odpowiedź #44 dnia: Styczeń 31, 2019, 14:35:48 »
Jedna z ciekawszych konstrukcji złotego podziału oparta o trójkąt równoboczny wpisany w koło.

Znam, i przyznaję, ciekawa 8*)
Wolę jednak tę z koncentrycznymi okręgami (fale ;) ).

Natomiast niektórzy dopisują bez sprawdzania i powielają błąd jakoby stosunek tych łuków też był złotą proporcją czego sam Odom nigdy nie proponował.

Rzeczywiście jest on dość bliski złotemu stosunkowi, kąty są dość zbliżone, ale jednak się różnią, masz rację.
Tylko skąd Ci się wzięło to 1.697?
Jeśli podzielimy kąt środkowy trójkąta równobocznego (120°) w stosunku 1:Φ, dostaniemy kąt 74°.16407865….
Natomiast kąt, pod jakim ta linia przecina okrąg, to 75°.522487814…, czyli niemal półtora stopnia. Jeśli użyjemy tego drugiego kąta, to w stosunku do kąta 120° da on 1.588930708… (a przynajmniej taka wartość mi wychodzi dla arctan √15 na moim kalkulatorze :mysl: ). Czyżbym coś pokręcił? :nauka:

Jednak zainspirowało mnie to do zadania sobie pytania i Wam też forumowiczom. Czy znacie jakiś stosunek długości dwóch krzywych, który byłby stosunkiem złotej proporcji?

Hmm... Z długościami krzywych jeszcze nie próbowałem, więc warto by było spróbować wkrótce jak znajdę trochę czasu :czas:  Ale może to Cię zainteresuje, bo dotyczy w pewnym sensie krzywych: wykresów funkcji trygonometrycznych i miejsc, w jakich się one przecinają.

Weźmy np. punkt przecięcia funkcji cosinus i tangens:

http://nauka.mistu.info/Matematyka/Geometria/Kepler/TrigPhi.jpg
3. Podstawowe pojęcia

Dla pewnego szczególnego kąta, zawierającego liczbę Bestii 666 (gdy wyrażony jest w radianach; w stopniach to około 38°), obie funkcje dają wartość równą pierwiastkowi kwadratowemu z odwrotnej złotej liczby φ = 0.618033988…  8*)

Dowód przedstawię w następnym poście, dla "chętnych", by pozostali ("niechętni") mogli go łatwiej przeskoczyć i nie musieć sobie nim zaprzątać głowy ;-J

Kolejną ciekawostką są miejsca przecięcia dwóch fal sinusoidalnych, których częstotliwości są w stosunku 2:3, czyli muzycznej kwinty czystej <dens.

http://nauka.mistu.info/Matematyka/Geometria/Kepler/sin2sin3_Phi.jpg
3. Podstawowe pojęcia

Okazuje się, że gdy obie fale się spotykają, ich amplitudy (wysokości słupka) to połówki złotej liczby Φ i jej odwrotności φ 8*)  Więc jeśli dodamy obie amplitudy do siebie (tak jak się dzieje podczas interferencji fal, np. dźwiękowych), to te połówki złotych liczb się podwoją, i wysokość wypadkowej fali będzie dokładnie równa złotej liczbie :taaak:

W dodatku spotykają się równo co 1/5 pełnego okresu. (Co jest swego rodzaju podpowiedzią, skąd biorą się tutaj te złote proporcje :-> bo sugeruje związek z diabelskim pentagramem >:D Polecam spróbować zgadnąć samemu skąd te złote liczby się tu biorą.)
Naukowy kącik kwantowy Saska:  http://nauka.mistu.info/  :-)
Ostatnio dodane artykuły: Splątanie kwantowe rozplątane

Offline SasQ

  • Collegium Invisible
  • Zaawansowany użytkownik
  • *
  • Wiadomości: 297
  • Płeć: Mężczyzna
  • Quanta rhei... :-)
    • Jabber/AQQ
    • Zobacz profil
    • Naukowy kącik kwantowy
    • Email
Odp: 3. Podstawowe pojęcia
« Odpowiedź #45 dnia: Styczeń 31, 2019, 14:56:24 »
Dowód dla wspomnianego wyżej skrzyżowania funkcji cosinus i tangens:

Punkt przecięcia dwóch krzywych to miejsce, gdzie dla tego samego argumentu (współrzędnej k) otrzymujemy tę samą wartość obu funkcji (wysokość słupka). Zobaczmy więc, dla jakiego kąta k obie funkcje dają tę samą wartość (równają się):

cos k  =  tan k

Funkcję tangens można rozpisać jako stosunek funkcji sinus do funkcji cosinus, więc:

cos k  =  (sin k) / (cos k)

Po wymnożeniu obu stron równania przez mianownik prawej strony, by pozbyć się ułamków:

(cos k)2  =  sin k

Korzystając z "jedynki trygonometrycznej":

     (cos k)2 + (sin k)2  =  1

     (cos k)2  =  1 – (sin k)2

po lewej stronie równania, dowiadujemy się, że:

1 – (sin k)2  =  sin k

Odejmijmy sin k od obu stron:

1 – (sin k)2 – sin k  =  0

i pomnóżmy przez -1, by odbić znaki:

-1 + (sin k)2 + sin k  =  0

i po lekkim uporządkowaniu dostajemy równanie trygonometryczne:

(sin k)2 + sin k – 1  =  0

Jak go teraz rozwiązać dla nieznanego kąta k?
Widzimy, że wszędzie występują tutaj różne potęgi sin k, więc podstawmy na chwilę:

      sin k  =  y

Wtedy sprowadzimy nasze równanie do równania algebraicznego:

y2 + y – 1  =  0

czyli jednej ze znanych postaci równania kwadratowego, którego rozwiązaniem jest złota liczba. Zobaczmy to, dodając 1 do obu stron:

y2 + y  =  1

i uzupełniając kwadrat:

y2 + y + (1/2)2  =  1 + (1/2)2

Lewą stronę można wtedy zwinąć (ze wzoru skróconego mnożenia), a prawą rozwinąć i dodać:

(y + 1/2)2  =  1 + 1/4  =  4/4 + 1/4  =  5/4

następnie spierwiastkować obustronnie:

y + 1/2  =  ±√[5/4]

y + 1/2  =  ±√5/2

i po odjęciu 1/2 od obu stron dowiadujemy się, że:

y  =   ±√5/2 – 1/2

i tym sposobem poznajemy oba rozwiązania równania dla y:

y1  =   √5/2 – 1/2  =  φ  =  0.618033988…

y2  =   –(√5/2 + 1/2) = -Φ = -1.618033988…

czyli ujemną złotą liczbę Φ, oraz jej dodatnią odwrotność φ :slonko:

A przypomnijmy sobie nasze podstawienie:

      sin k  =  y

Więc po wstawieniu w nim pierwszego z naszych rozwiązań, y1 = φ, dostajemy takie równanie:

sin k  =  φ

Nam jednak zależało na wartości funkcji cos k (współrzędnej x), a nie sin k (współrzędnej y). Skąd ją wziąć?

Podnieśmy obustronnie do kwadratu:

(sin k)2  =  φ2

i skorzystajmy jeszcze raz z "jedynki trygonometrycznej":

     (cos k)2 + (sin k)2  =  1

     (cos k)2  =  1 – (sin k)2

1 – (cos k)2  =  φ2

Pomnóżmy przez -1, by odbić znaki:

(cos k)2 – 1  =  -φ2

i dodajmy 1 do obu stron:

(cos k)2  =  1 – φ2

Po prawej zostaje nam więc:

(cos k)2  =  φ

i po obustronnym spierwiastkowaniu:

cos k  =  √φ = x

Tak więc dla naszego tajemniczego kąta k, dla którego obie funkcje mają tę samą wysokość słupka (współrzędną x), słupek ten ma wysokość równą pierwiastkowi kwadratowemu z odwrotnej złotej liczby, √φ !! jupi

I to właśnie chcieliśmy udowodnić, czyli Quod Erat Demonstrandum  8*)

No dobrze, ale ile wynosi ten tajemniczy kąt k?

Wiemy, że jego sinus wynosi φ. Innymi słowy:

k  =  arcsin φ

Jest to liczba przestępna (patrz twierdzenie Lindemanna-Weierstrassa), więc nie da się jej przedstawić wyrażeniem algebraicznym. Możemy ją tylko przybliżyć dziesiętnie. Jeśli wstukamy tę liczbę do kalkulatora, otrzymamy w przybliżeniu kąt w radianach zaczynający się liczbą Bestii, 666 >:D

k  =  arcsin φ  =  0.666239432…

czyli około 38°. Jest to zarazem kąt, jaki można znaleźć w złotym trójkącie Keplera, czyli trójkącie prostokątnym o proporcji boków 1 : φ : √φ ;) Przedstawiam go poniżej:


i jeśli dokładniej przeanalizujesz ten trójkąt, to zrozumiesz, skąd się biorą te złote proporcje w skrzyżowanych funkcjach trygonometrycznych ;)
« Ostatnia zmiana: Styczeń 31, 2019, 15:05:57 wysłana przez SasQ »
Naukowy kącik kwantowy Saska:  http://nauka.mistu.info/  :-)
Ostatnio dodane artykuły: Splątanie kwantowe rozplątane

Offline percepcja

  • Użytkownik
  • **
  • Wiadomości: 33
    • Zobacz profil
    • percepcja44
    • Email
Odp: 3. Podstawowe pojęcia
« Odpowiedź #46 dnia: Styczeń 31, 2019, 18:24:42 »
Rzeczywiście jest on dość bliski złotemu stosunkowi, kąty są dość zbliżone, ale jednak się różnią, masz rację.
Tylko skąd Ci się wzięło to 1.697?

Wracając do łuków zaznaczonych na schemacie to stosunek łuków fioletowego i niebieskiego jest stosunkiem dwóch kątów:

75°.522487814… o który oparty jest łuk fioletowy
i kąta 44°.477512186 = 120o - 75°.522487814… o który oparty jest łuk niebieski.

Tak było to zaznaczone na rysunku.

Uzyskujemy wtedy wynik:
75°.522487814… / 44°.477512186 = 1.697992628....

Ponieważ nie jest to podział łuku w złotej proporcji to oczywiście dzielenie przedstawione przez Ciebie:
120° / 75°.522487814… = 1.588930707...

musiało dać inny wynik bo tu suma długości długiego i krótkiego łuku dzielona przez długość długiego nie jest równa stosunkowi długości łuków długiego do krótkiego.

Liczba 666 ma trochę ciekawych własności ale w kontekście złotej liczby istnieje prosta zależność:
Φ = - 2 x sin(666°)

Powiązanie punktów przecięcia wykresów funkcji trygonometrycznych ze złotą proporcją jest mi znane ale dodawanie tych sinusoid w proporcjach 2:3 bardzo ciekawe. :super:

Offline SasQ

  • Collegium Invisible
  • Zaawansowany użytkownik
  • *
  • Wiadomości: 297
  • Płeć: Mężczyzna
  • Quanta rhei... :-)
    • Jabber/AQQ
    • Zobacz profil
    • Naukowy kącik kwantowy
    • Email
Odp: 3. Podstawowe pojęcia
« Odpowiedź #47 dnia: Styczeń 31, 2019, 21:04:13 »
to stosunek łuków fioletowego i niebieskiego jest stosunkiem dwóch kątów:

75°.522487814… o który oparty jest łuk fioletowy
i kąta 44°.477512186 = 120o - 75°.522487814… o który oparty jest łuk niebieski.

Aa, w ten sposób... No to rzeczywiście się zgadza, choć zadziałałoby tylko dla złotego podziału, w którym stosunek większej części do całości jest taki sam, jak poszczególnych części do siebie nawzajem.

Uzyskujemy wtedy wynik:
75°.522487814… / 44°.477512186 = 1.697992628....

OK, teraz się zgadza.
Przyznasz jednak, że do dość ciekawe, że liczba wyszła dość blisko złotej ;)

To podobnie jak z tą niesławną "kwadraturą koła", z której rzekomo miało wynikać, że π = 4 / √Φ. Tam też liczby wychodzą bardzo bliskie, pewnie dlatego, że kąt 45° czyli π/4 radianów to 0.785398163…, a więc liczba bardzo bliska pierwiastkowi kwadratowemu ze złotej liczby, √φ = 0.786151377… :figielek:

Liczba 666 ma trochę ciekawych własności ale w kontekście złotej liczby istnieje prosta zależność:
Φ = - 2 x sin(666°)

Tak, wiem. Leszek pokazał mi ten wzór na zlocie w Tyńcu, po czym w kilka minut wykombinowałem jego geometryczną interpretację ;)


Widzę, że wieści szybko się roznoszą ;)

No i jak widać wiąże się nie tylko z "grzechem" (ang. "sin") i liczbą Bestii, ale i diabelskim pentagramem >:D
Pentagram jednak już od dawna mam rozpykany, dzięki liczbom urojonym...


Właściwie to jest trochę stary obrazek, bo później wyczaiłem jak wyrazić te liczby za pomocą piątek ;) (które lepiej się "rymują" z pentagramem).

Powiązanie punktów przecięcia wykresów funkcji trygonometrycznych ze złotą proporcją jest mi znane ale dodawanie tych sinusoid w proporcjach 2:3 bardzo ciekawe. :super:

No, jest ich więcej, ale nie mam gotowych obrazków, więc może podzielę się innym razem :pada śnieg: I na pierwszy rzut oka faktycznie robią wrażenie, no bo niby skąd miałyby się brać złote proporcje w falach sinusoidalnych, i czemu akurat dla tych w stosunku 2:3? (słowo "kwinta" sugeruje jednak jakiś związek z liczbą pięć – czyżby Grecy wiedzieli? :-> może trop z piątym dźwiękiem w skali nie jest jedynym? :mysl: )  Ale jeśli się dokładniej zastanowić jak takie fale się krzyżują (kiedy ich rytmy się spotykają) i zastosować odpowiednie wzory trygonometryczne (obwiednia i modulacja, czyli przekształcanie sumy na iloczyn i z powrotem), można zauważyć, że obwiednia ma częstotliwość równą różnicy częstotliwości składowych, a nowa zmodulowana fala ma częstotliwość równą sumie częstotliwości składowych, więc wystarczy połączyć kropki, dodać 2+3=5, i związek z pentagramem zaczyna się powoli stawać jasny ;) Szczególnie gdy się to narysuje jako cykle wirujące w kole, bo wtedy to koło podzieli się równo na 5 części i pentagram sam się pojawi :)  Więc nie taki diabeł straszny, gdy się go na płaszczyźnie zespolonej namaluje :hahahaha:
« Ostatnia zmiana: Styczeń 31, 2019, 21:11:27 wysłana przez SasQ »
Naukowy kącik kwantowy Saska:  http://nauka.mistu.info/  :-)
Ostatnio dodane artykuły: Splątanie kwantowe rozplątane

Offline Lucyfer

  • Administrator
  • Ekspert
  • *****
  • Wiadomości: 612
    • Zobacz profil
    • Email
Odp: 3. Podstawowe pojęcia
« Odpowiedź #48 dnia: Luty 02, 2019, 17:04:10 »
Cytat: percepcja
Jednak zainspirowało mnie to do zadania sobie pytania i Wam też forumowiczom. Czy znacie jakiś stosunek długości dwóch krzywych, który byłby stosunkiem złotej proporcji?

Odświeżę kilka kotletów  :oczko:



222.5°/137.5°=1.618..

<a href="http://www.youtube.com/watch?v=gtH0ZnW7phQ" target="_blank">http://www.youtube.com/watch?v=gtH0ZnW7phQ</a>

Skoro o muzyce mowa to musi być też jej kwintesencja - Pentatonika
<a href="http://www.youtube.com/watch?v=jpvfSOP2slk" target="_blank">http://www.youtube.com/watch?v=jpvfSOP2slk</a>

« Ostatnia zmiana: Luty 02, 2019, 17:07:32 wysłana przez Lucyfer »

Offline percepcja

  • Użytkownik
  • **
  • Wiadomości: 33
    • Zobacz profil
    • percepcja44
    • Email
Odp: 3. Podstawowe pojęcia
« Odpowiedź #49 dnia: Luty 03, 2019, 19:27:12 »
Cytat: percepcja
Jednak zainspirowało mnie to do zadania sobie pytania i Wam też forumowiczom. Czy znacie jakiś stosunek długości dwóch krzywych, który byłby stosunkiem złotej proporcji?

Odświeżę kilka kotletów  :oczko:



222.5°/137.5°=1.618..
Nie do końca dobrze się wyraziłem. Bo tu mógłbym postawić pytanie jak konstrukcyjnie wyznaczyć takie kąty?
I nie chodzi też o to aby konstruować proste w stosunku złotej proporcji i później je wyginać.

Raczej chodzi mi o to czy znana jest konstrukcja geometryczna długości dwóch krzywych, których stosunek długości byłby stosunkiem złotej proporcji?