Dowód dla wspomnianego wyżej skrzyżowania funkcji cosinus i tangens:Punkt przecięcia dwóch krzywych to miejsce, gdzie dla tego samego argumentu (współrzędnej
k) otrzymujemy tę samą wartość obu funkcji (wysokość słupka). Zobaczmy więc, dla jakiego kąta
k obie funkcje dają tę samą wartość (równają się):
cos k = tan k
Funkcję
tangens można rozpisać jako stosunek funkcji
sinus do funkcji
cosinus, więc:
cos k = (sin k) / (cos k)
Po wymnożeniu obu stron równania przez mianownik prawej strony, by pozbyć się ułamków:
(cos k)2 = sin k
Korzystając z "jedynki trygonometrycznej":
(cos k)2 + (sin k)2 = 1 (cos k)2 = 1 – (sin k)2po lewej stronie równania, dowiadujemy się, że:
1 – (sin k)2 = sin k
Odejmijmy
sin k od obu stron:
1 – (sin k)2 – sin k = 0
i pomnóżmy przez
-1, by odbić znaki:
-1 + (sin k)2 + sin k = 0
i po lekkim uporządkowaniu dostajemy równanie trygonometryczne:
(sin k)2 + sin k – 1 = 0
Jak go teraz rozwiązać dla nieznanego kąta
k?
Widzimy, że wszędzie występują tutaj różne potęgi
sin k, więc podstawmy na chwilę:
sin k = yWtedy sprowadzimy nasze równanie do równania algebraicznego:
y2 + y – 1 = 0
czyli jednej ze znanych postaci równania kwadratowego, którego rozwiązaniem jest złota liczba. Zobaczmy to, dodając
1 do obu stron:
y2 + y = 1
i uzupełniając kwadrat:
y2 + y + (1/2)2 = 1 + (1/2)2
Lewą stronę można wtedy zwinąć (ze wzoru skróconego mnożenia), a prawą rozwinąć i dodać:
(y + 1/2)2 = 1 + 1/4 = 4/4 + 1/4 = 5/4
następnie spierwiastkować obustronnie:
y + 1/2 = ±√[5/4]
y + 1/2 = ±√5/2
i po odjęciu
1/2 od obu stron dowiadujemy się, że:
y = ±√5/2 – 1/2
i tym sposobem poznajemy oba rozwiązania równania dla
y:
y1 = √5/2 – 1/2 = φ = 0.618033988…
y2 = –(√5/2 + 1/2) = -Φ = -1.618033988…
czyli ujemną złotą liczbę
Φ, oraz jej dodatnią odwrotność
φ 
A przypomnijmy sobie nasze podstawienie:
sin k = yWięc po wstawieniu w nim pierwszego z naszych rozwiązań,
y1 = φ, dostajemy takie równanie:
sin k = φ
Nam jednak zależało na wartości funkcji
cos k (współrzędnej
x), a nie
sin k (współrzędnej
y). Skąd ją wziąć?
Podnieśmy obustronnie do kwadratu:
(sin k)2 = φ2
i skorzystajmy jeszcze raz z "jedynki trygonometrycznej":
(cos k)2 + (sin k)2 = 1 (cos k)2 = 1 – (sin k)21 – (cos k)2 = φ2
Pomnóżmy przez
-1, by odbić znaki:
(cos k)2 – 1 = -φ2
i dodajmy
1 do obu stron:
(cos k)2 = 1 – φ2
Po prawej zostaje nam więc:
(cos k)2 = φ
i po obustronnym spierwiastkowaniu:
cos k = √φ = x
Tak więc dla naszego tajemniczego kąta
k, dla którego obie funkcje mają tę samą wysokość słupka (współrzędną
x), słupek ten ma wysokość równą
pierwiastkowi kwadratowemu z odwrotnej złotej liczby, √φ 
I to właśnie chcieliśmy udowodnić, czyli Quod Erat Demonstrandum
No dobrze, ale ile wynosi ten tajemniczy kąt
k?
Wiemy, że jego
sinus wynosi
φ. Innymi słowy:
k = arcsin φ
Jest to liczba
przestępna (patrz twierdzenie Lindemanna-Weierstrassa), więc nie da się jej przedstawić wyrażeniem algebraicznym. Możemy ją tylko przybliżyć dziesiętnie. Jeśli wstukamy tę liczbę do kalkulatora, otrzymamy w przybliżeniu kąt w radianach zaczynający się
liczbą Bestii, 666 
k = arcsin φ = 0.666239432…
czyli około
38°. Jest to zarazem kąt, jaki można znaleźć w
złotym trójkącie Keplera, czyli trójkącie prostokątnym o proporcji boków
1 : φ : √φ 
Przedstawiam go poniżej:
i jeśli dokładniej przeanalizujesz ten trójkąt, to zrozumiesz, skąd się biorą te złote proporcje w skrzyżowanych funkcjach trygonometrycznych
